重积分的计算法(18).ppt

1,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,2,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,3,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,4,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,5,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,6,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,7,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分行不通,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,8,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,9,10,例6. 计算,其中D 由,所围成（含正 轴）.,解: 令,(如图所示),显然,11,12,例8 计算,13,例9 求证：,此结论可以作为公式使用,14,15,16,2006考研（三） 计算二重积分,其中,解：,（先 后 ）,17,1.为什么引用极坐标计算二重积分,2,1,D,D1,D2,D3,D4,D:,.,怎么计算？,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,二、利用极坐标计算二重积分,18,极坐标系下的面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,用坐标线: =常数；r =常数 分割区域 D,i,ri,ri+1,.,.,.,.,.,.,2. 利用极坐标计算二重积分,i,i,i +i,I =,ri,r,.,.,19,3. 怎样利用极坐标计算二重积分(1),极点不在区域 D 的内部,0,A,B,F,E,D,D:,r,r,20,3. 怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:,.,极点不在区域 D 的内部,r,21,3. 怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:,.,步骤： 1 从D的图形找出 r, 上、下限； 2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd,极点不在区域 D 的内部,r,22,极点位于区域 D 的内部,0,D,r,D:,4. 怎样利用极坐标计算二重积分(2),r,23,即,24,设,则,特别, 对,25,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),26,例1. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,27,注:,利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例6的结果, 得,故式成立 .,28,29,解,30,解,31,4,r = 4 cos,r = 8 cos,8,D,1,2,例5,将二重积分 化为极坐标下的二次积分,y = 2x,x = y,32,0,y,x,r = 8 cos,D,4,8,.,r = 4 cos,2,1,.,I =,将二重积分 化为极坐标下的二次积分,33,解,34,解,35,例7 计算二重积分 ，其中 D 是由圆周 及直线 在第一象限内所围成的闭区域。,解：积分区域 D 为：,采用极坐标，则积分区域 D 为,于是，所求的二重积分为：,1,2,y =x,D,36,例9. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,37,定积分换元法,*三、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,38,证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形, 其顶点为,通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,39,同理得,当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,40,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如, 直角坐标转化为极坐标时,41,例3. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解: 令,则,42,2009考研（三）0.,计算二重积分 ，其中,解：,43,2005考研（一）计算二重积分,其中,表示不超过,的最大整数。,解：记,则,11分,44,2006考研（一）设函数 连续，则,45,2006考研(1)分计算二重积分,设区域,解：,因为,所以,46,2007考研（2）11分。,设函数,计算二重积分,，,其中,解：如图(1) 关于 对称，,(1),对 均为偶函