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5. 极限运算法则,一、无穷小的运算法则,定理 1.,有限个无穷小的和也是无穷小。,（证略）,说明：,(1) 和 指 代数和。,(2) 无限个无穷小的和不一定是无穷小。,定理 2.,有界函数与无穷小的乘积是无穷小。,推理1.,常数与无穷小的乘积为无穷小。,推理2.,有限个无穷小的乘积也是无穷小。,例：,？, “ 不定型 ”,一般：,二、 极限的四则运算法则,(P. 43 45 定理3，推论1，2),若 lim f (x) = A , lim g (x) = B 存在，,则 (1) lim f (x) g (x) ,= lim f (x) lim g (x) = A + B.,(2) lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x) = AB,C:常数,对数列 xn , yn 有类似运算规律 ( 定理4 ),补定理5 例题讨论,例1：,设多项式,解：,同理，设有理分式函数,P(x),Q(x)均为多项式，Q(x0) 0,例2：,分子分母同除 x2:,例3：,(分母为无穷小,分子极限为常数),(分子分母均为无穷小),例4：,例5：,例6：,？,例7：,同除 x :,例8：,同除 e x :, 不定型,例9：,例10：,定理 6.,( 复合函数的极限运算法则 ),( 证略 ),例1：,例2：,例3：,一般：, 幂指函数, 不定型,课外作业,习题 1 -5,习题 1 - 5 (B),1（双），2，4,1(双数)，2(双数)，3(单数)，4（双数）,6. 极限存在准则 两个重要极限,准则 I .（夹逼定理）,证：,同时成立，即,例题讨论,例：求下列极限：,1.,解：,0,0,则,2.,解：,推广到函数极限，相应有,准则 I .,以下用此准则证明两个重要极限之一,重要极限(1),证：,作单位圆如图，,AOB = x,x,显然：,O,B,C,D,A,两边同除 sinx :,1,1,= 1.,重要极限（1）,例题讨论,求下列极限：,= 1.,= 5 .,= 1.,令 u = arcsin x ,准则 II .,单调有界数列必有极限。,注意：,单调有界是数列收敛的充分条件，,但非必要条件。,以下用此准则证明两个重要极限之一,（证略）,(2) 重要极限,证：,先证明,显然 yn 1,yn ,又 y1 = 4 , yn 为单调有界数列，,由准则 II，,记其极限值 2.71828 ,= e,又由夹逼定理，,注意：它们的类型都是 “ 1 ” 型。,例题讨论,1 . 求下列极限：,同理：,2. 利用准则 II 证明:,并求此极限值。,证：,即证数列 xn :,单调有界，,由数学归纳法：,即数列 xn 有界；,现证 xn - xn-1 0:,由准则 II ，,课堂练习,
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