D3-5函数的极值与最值.pptVIP

1,纠正作业,P139T1(5),P139T1(7),P139T1(9),2,温故知新,1.可导函数单调性判别,2.曲线凹凸的判别,3.拐点的定义:,注：拐点是曲线上的点,是一对有序的实数.,3,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,第三章,三、应用举例,4,1.定义:,(1),(2),极大点与极小点统称为极值点 .,问：极值点是连续点吗？,一、函数的极值及其求法,极大值与极小值统称为极值 .,5,注意：,极值与最值的区别：,是对整个区间而言，,绝对的、,极值：,最值：,是对某个点的邻域而言、,可以不是唯一的.,极大值不一定都大于极小值.,如何求极值？,观察图形知：,是整体的、,唯一的.,是局部的、相对的、,最值可在区间端点处取得,而极值只能在区间的内点处取得.,可导函数极值点处的导数是零.,6,2.定理1,(极值必要条件),(费马定理),取得极值,注意：1),可导函数的极值点,驻点,如：,即：可导函数的极值点,驻点,也可能是极值点.,如：,却是极小值点.,也不是极值点.,3),极值点的可疑点：,(在定义域内部的)驻点,不可导点.,即：极值点,驻点,不可导点,问：如何能快速的说明一个函数没有极值？,7,3.定理 2 (第一充分条件，极值第一判别法),内有导数,左正右负极大,左负右正极小,左右同号无极值,说明：,1)定理中的条件,2)该定理适用于：,是驻点或不可导的连续点.,8,解：,例1.,极大值,不可导,故极大值为：,极小值为：,极小值,9,求极值的步骤:,(1)求定义区间，,求导数,(2)求驻点,以及不可导的点(在定义区间内)；,(3)检查,在驻点及不可导点左右的符号，,判断出极值点；(最好列表),(4)求极值.,求极值的步骤与求单调区间的步骤基本相同.,10,例2. 求函数,解:,1),2),令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,无导数不存在的点.,11,4.定理3 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,证：,同理可证(2).,由第一判别法知：,注意：,1.第二充分条件适用于:驻点,需用第一判别法判别.,12,例3. 求函数,解:,1),2),令,得,3)计算,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,13,例4. 求函数,解: 1) 求定义域及导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,故需用第一判别法判别.,14,试问,为何值时,极值？,解:,由题意应有：,又,取得极大值为：,例5.,并求此极值.,它是极大值还是极小值？,提示：,P163T3,15,观察：,端点的函数值；,驻点的函数值；,不可导点的函数值.,来自于,二、闭区间上连续函数的最值的求法,结论：,(2),16,例1. 求函数,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,不可导点,3) 计算最值可疑点处的函数值,是最大点，,其最大值为,是最小点，,其最小值为,17,例2. 求函数,解:,故函数在,取最小值 0 ;,取最大值 20.,思考：,18,结论：,思考：,19,特别:,当,就是最大(小)值.,常用于解决实际问题.,求,对于实际问题,若在定义区间内有唯一驻点,且知最大(小)值,一定存在,而且一定在定义区间内部取得,则可不必讨论是否为,极值,就可断定该点就是最大(小)值点.,20,某房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为1000元时,公寓会全部租出去.当月租金每增加50元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费100元的维修费.试问房租定为多少可获得最大收入？,解：,设房租为每月,每月总收入为：,租出去的房子有：,(唯一驻点),故每月每套租金为1800元时收入最高.,三、应用举例,实际问题求最值的步骤:,(1)建立目标函数;,(2)判断并求最值.,P164T15,例3.,21,解：,如图,例4.,22,例5. 求数列,的最大项 .,证:,求导得,列表判别:,因此在,处,也取最大值 .,又因,内只有唯一的极大点,P183T14,23,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使一阶导数为0 或不存在的点x.,(2) 第一充分条件:,(3) 第二充分条件:,24,2. 连续函数的最值,(2),特别:,当,求,就是最大(小)值.,25,思考与练习,B,(A) 取得