D34隐函数、参数方程的求导.ppt

,3.4,3. 4. 1 隐函数的导数,3. 4. 2 由参数方程确定的函数的导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,隐函数和参数方程求导,第 3 章,3. 4.隐函数的微分法,设方程,若存在函数,称形如,表示的函数为显函数 。,例如：,就确定了一个显函数,也确定 y 是 x 的函数 ，,但此隐函数是不能被显化的 。,确定了区间 I,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,成立,1.隐函数的概念,使得,里的一个隐函数 ；,方程,方程,若从方程,中能求解出函数：,或,则称该隐函数可以被显化。,但要提请注意的是：并非隐函数均可被显化。,再如：,2. 隐函数的求导法则,设方程,的方程；,方法：,等式两边对自变量求导”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,“视一个变量是另一变量的函数，,其结果可能仍是含导数,方法：,用微分的法则对等式两边各变量微分”,“两个变量视为同等地位，,的方程，,其结果是含微分,再从方程中解得,即可。,确定了一个函数,例 1.,在 x = 0 处的导数,解:,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求由方程,方程两边对 x 求导（视 y 为 x 的函数）,例 2 .,在点,处的切线方程。,解:,故切线方程为：,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求椭圆,椭圆方程两边对 x 求导（视 y 为 x 的函数）,例 3.,求,解:,注意 目录 上页 下页 返回 结束,由此得：,设,利用一阶微分形式不变性， 等式两边求微分得,例 4.,的导数 。,解:,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求函数,两边取对数 , 化为隐式：,因此，,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如:,两边取对数,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,均为常数,又如:,对 x 求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.4.2 由参数方程确定的函数的导数,设参数方程,确定了变量 y 与变量x 的函数关系，,均可导，,则当,时，,时，,(此时，视 x 为 y 的函数 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,有：,有,例 5.,确定了函 数,求,解:,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设由方程,方程组两边对 t 求导 , 得, 求,解：,例 6.,方程组两边同时对 t 求导， 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,例7.,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向？,解:,速度的水平分量为：,垂直分量为：,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角，,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设抛射体运动轨迹的参数方程为：,先求速度大小:,抛射体轨迹的参数方程：,速度的水平分量：,垂直分量：,在刚射出 (即 t = 0 )时，,达到最高点的时刻：,高度,落地时刻：,抛射最远距离,速度的方向：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,倾角为,求螺旋线,在,时所对应点处的切线方程？,解:,当,时所对应点为：,其斜率, 切线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 8.,化极坐标方程为参数方程：,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导；,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直接对方程两边求微分；,?,例7. 设, 且,求,解:,练习: P111 题8(1),解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,求,提示: 分别用对数微分法求,答案:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对