调性、凹凸性与极值lhy.ppt

,第三章 中值定理 导数应用,第四节,上页 下页 返回 结束,函数单调性的判定,曲线的凹凸性与拐点,Music,函数的单调性、,凹凸性与极值,单调递减,上页 下页 返回 结束,x,y,0,a,b,x,y,0,a,b,函数,的单调性,的符号密切,相关.,单调递增,与导函数,一、 函数的单调性,定理 1. 设f (x)在a, b上连续, (a, b) 内可导,若在(a, b),则 f (x)在a, b上(严格)单调递,(递减) .,证:,任取,则由拉格朗日中值定理得,故,表明 f (x)在 a, b上单调递增.,上页 下页 返回 结束,内,设,同理可证单调递减情形.,注 1. 将定理中的闭区间换成其他区间, 结论不变.,增,设在(a, b)内,例如,上单调递增,3. 若 f (x)在a, b上连续,在(a, b) 内除单独点外都可导,且在可导点满足,则 f (x)在a, b上,(递减) .,(严格)单调递增,内仅有有限个零点，则结论仍成立.,在,且,只在,处发生.,但导数,如,当,时，,不存在,当,时，,在,上单调递增.,上页 下页 返回 结束,例1. (1)确定函数,的单调性.,(2)证明: x0 时,解: (1),(2),x0 时,即:, x0 时,定义,上页 下页 返回 结束,例2. 证明,证明:,设,显然, f (x)在区间,上连续,f (x)在,上单调减少,f (x)在,上单调增加,x 0 时,即:,x 0 时,即:,不存在的点 x) ;,上页 下页 返回 结束,讨论(或确定) 函数单调性的方法:,2. 求出,的点以及,3. 用上述点x 划分已知区间,在各小区间上逐一考,察函数的单调性.,1. 确定 f(x) 的定义域;,单调区间所有可能的分界点（包括,如,为单调区间的分界点，,函数在,处不可导.,的单调区间.,解:,时，,当,故f (x)的单调增加区间为,单调减少区间为,上页 下页 返回 结束,f (x) 的定义域为,列表讨论:,例3. 确定函数,的单调性.,解:,时,当,故f (x)在区间,上单调减少.,上页 下页 返回 结束,f (x) 的定义域为,不存在.,例4. 确定函数,当,列表讨论:,上单调增加;,在区间,时,上页 下页 返回 结束,例5. 设 f (x) 在0,1上可导,且0 f (x) 1,证明,在(0,1)内有且仅有一个x ,使得f (x) = x .,证明:,存在性:,作辅助函数:,F (x) =,f (x) x,F (0) =,f (0), 0 ,F (1) =,f (1) 1, 0 ,在(0,1)内至少有一个 ,使得F ()= f () = 0.,f () =,即:,唯一性:,设 F (x) = 0在(0,1)内的正根不止一个,x1 ,x2 是它的两个正根:,由Rolle定理,矛盾!,F (x1) =,F (x2) =0 ,在x1 , x2之间存在 ,使得,证法一反证,唯一性:,证法二,故 F (x) 严格单调减少,方程F (x)= 0最多有一个实根.,上页 下页 返回 结束,所以,在(0,1)内有且仅有一个x ,使得f (x) = x .,即最多有一个x ,使得f (x) = x,F (x) =,f (x) x,上页 下页 返回 结束,A,B,连结A, B 两点的曲线弧的弯曲方向应如何表示?,x,y,0,x,y,0,弦总在曲线弧的上方,凹弧,弦总在曲线弧的下方,凸弧,二、曲线的凹凸性,定义,设 f (x) 在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称 f (x),为凹函数，称它的图形是凹弧;,(2) 若恒有,则称 f (x),上页 下页 返回 结束,1. 凹弧、凸弧的定义与判定,为凸函数，称它的图形是凸弧.,如图：,在（a，b）上是凹的,在（a，b）上单调递增,(1) 若在(a, b) 内,则 f (x)在a, b上是凹的 ;,则 f (x)在a, b上是凸的 .,证明思路：结合定义，运用Lagrange中值公式（略）,上页 下页 返回 结束,设f (x)在a, b 上连续, 在,(a, b ) 内 二阶可导.,(2) 若在(a, b) 内,定理2.(凹凸性判定定理),上页 下页 返回 结束,例6.,的凹凸性.,解:,上函数是凹的，,在,上函数是凸的.,在,连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 .,2. 拐点,(0, 0)点是曲线,的拐点，,上页 下页 返回 结束,注 曲线的拐点要用数组,来表示,不能写成,拐点的确定:,设y=f (x),或,不存在,是曲线的拐点;,两侧,不改变符号,不是拐点.,则,若在,使,的点是可能的拐点.,如,在,处,的凹凸区间与拐点.,解:,令,得,列表讨论,曲线在,和,上是凹的,是凸的,点,都是拐点.,上页 下页 返回 结束,例7. 确定曲线,和,f (x) 的定义域为,例8.利用函数图形的凹凸性证明,证明:,当,因此, 在(0, +) 上,是凹函数,由凹函数的定义,对,总有,即,上页 下页 返回 结束,令f (t)=,时,内容小结,1. 可导函数单调性判别,f (x)在 I 上单调递增,f (x)在 I 上单调递减,2. 曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点,上页 下页 返回 结束,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是 ( ),提示: 利用,单调增加 ,及,B,1.设在,上页 下页 返回 结束,有位于同一直线上的三个拐点.,2.求证曲线,证,上页 下页 返回 结束,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,上页 下页 返回 结束,A,B,C,定义,总有,(1),则称 x0 为f (x)的极大值点 ,称 f (x0 )为函数的极大值 ;,(2),则称 x0为 f (x)的极小值点 ,称 f (x0 )为函数的极小值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .,上页 下页 返回 结束,若存在,使对任意的,极大值与极小值统称为极值 .,极值: 极值点处的函数值.,1. 极值的概念,三、函数的极值,上页 下页 返回 结束,注:,(1) 极值是函数的局部性质.,(2) 极大值不一定大于极小值.,(3) 极值不一定是最值.,2. 极值的必要条件,定理1. 如果f (x)在点x0可导,且在x0处取得极值, 则,为极大值点,为极小值点,不是极值点,如图：,则称x0为f (x) 的驻点.,定义 若,3. 若f(x)在点x0不可导， x0也可能是极值点.,2. 驻点不一定是极值点.,如:,为其驻点,如:,x =0是极小值点.但函数在x =0不可导.,上页 下页 返回 结束,注: 1. 可导的极值点必为驻点.,可能的极值点,驻点,有定义,但导数不存在的点,但不是极值点.,上页 下页 返回 结束,定理 1 (第一充分条件),内可导,若,由正变负,3. 如何确定极值点,是可能的极值点,空心邻域,若,由负变正,若,不变号,的极值 .,令,得,导数不存在的点是,上页 下页 返回 结束,求极值的步骤:,确定定义域,求导，找可能 极值点,极值点,极值,判 断,计 算,例1. 求函数,f (x)的定义域为,解:,列表讨论:,是极大值点，,极大值为,是极小值点，,极小值为