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范例2.5 小球在水中沉降的规律,小球的质量为m，受到水的浮力为B，受水的粘滞力为f = -kv，式中k是与水的粘度和小球的半径有关的常量，求小球在水中竖直沉降过程中速度和深度随时间的变化规律。,取竖直向下的方向为正方向，根据牛顿第二定律可得小球的运动方程mg - B - kv = ma，,显然重力要大于浮力mg B。,当加速度为零时可得极限速率,当速率为零时可得最大加速度,由于a = dv/dt，可得微分方程,分离变量得,积分,解析如图所示，小球受到重力mg，方向向下；浮力B，方向向上；粘滞力kv，方向向上。,可得,速度为,范例2.5 小球在水中沉降的规律,小球的质量为m，受到水的浮力为B，受水的粘滞力为f = -kv，式中k是与水的粘度和小球的半径有关的常量，求小球在水中竖直沉降过程中速度和深度随时间的变化规律。,当t时vvT，这就是极限速度。,m/k称为特征时间，用表示；0.6321vT是特征速度。,当t = m/k时，小球的速率为v = vT(1 - e-1) = 0.6321vT。,在t 时，小球将以极限速度vT匀速下降。,利用关系v = dx/dt，可得,积分,即,速度为,当时间t足够长时，小球下沉的深度随时间线性增加x = vT(t - )，,这是一条直线，也是深度曲线的渐近线。,速度随时间减速增加，趋于极
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