经济应用数学基础微积分第九章.ppt

第九章 微分方程与差分方程简介,一、微分方程的一般概念,二、一阶微分方程,三、几种二阶微分方程,四、二阶常系数线性微分方程,五、差分方程简介,9.1 微分方程的一般概念,解,1、问题的提出,解,代数方程,特点：未知变量是数,方程：含有未知量(数)的等式。,函数方程（泛函方程）,特点：未知变量是函数,1. 微分方程的定义,常微分方程：自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。 偏微分方程：自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。,未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。 当n=1时，称为一阶微分方程； 当n1时，称为高阶微分方程。,2. 微分方程的阶,3. 微分方程的解,常微分方程的解的表达式中，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。,为了得到合乎要求的特解，需要对微分方程附加一定的条件，它由系统在某一时刻的初始状态给定。称这种条件为初始条件。,初始条件,常微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,小结,偏微分方程；,9.2 一阶微分方程,一阶微分方程的一般形式是,一阶微分方程的初始条件：,记作,或,当,时，,解法,为微分方程的解.,分离变量法,一、可分离变量的一阶微分方程,形如,的方程，称为变量分离方程.,说明：以后可以不需要详细写出处理绝对值符号的过程。,例2 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,例3,练习：课本P410,2(1,2,3),二、齐次微分方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,可分离变量的方程,1.定义,例 2 求解微分方程,微分方程的解为,解,例 3 求解微分方程,解,微分方程的解为,练习：课本p410, 3(3,4),一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,三、一阶线性微分方程,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,解,例3,练习：课本P410 3(1，2),小结：一阶微分方程的求解 一、变量分离方程； 二、齐次方程（作变换y=ux）； 三、线性方程（常数变异法）,9.3 几种二阶微分方程,二阶微分方程的一般形式为,形 如 的微分方程是最简单的二阶微分方程。,一、最简单的二阶微分方程,特点：右端是 的一元函数。,解法：连续求 两 次积分。,例 解微分方程,特点：右端不显含,解法,满足初始条件,的特解。,方程并分离变量后，有,两端积分，得,例1 求微分方程,即,所以,两端积分，得,于是所求的特解为,特点：右端不显含,解法,解,代入原方程得,原方程通解为,例 2,二阶常系数齐次线性方程的一般形式,二阶常系数非齐次线性方程的一般形式,9.4 二阶常系数线性微分方程（补充内容）,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶常系数线性齐次方程解的结构:,问题:,其中 、 为常数,证明：,由前面定理知 是（1）的解,在 不等于常数的条件下，可以证明 中含有两个任意常数，所以 是（1）的解。,若 ，则 ，于是,其中 ，因而 中只有一个常数，所以不是（1）,的通解。,满足 不等于常数这一条件的两个解称为线性无关的。,因此， 是（1）的解的充分必要条件是：常数 为,分析:,若能够找到一个函数 ,使得 ,且 , 则,什么样的函数具有这样的特点呢?我们很自然想到指数函数,为常数,将它代入上式得,则有 , 称为（1）的特征方程。,特征方程的根。,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),三、常数（或参数）变易法,(5),(4),(5)联立方程组,积分可得,非齐次方程通解为,例 求非齐次方程 的通解。,9.5差分方程的一般概念,定义9.3 设函数 ，记为 。当 取非负整数时函数值可以排成一个数列：,则差 称为函数 的差分，也称为一阶差分，记为,即 。,记为 ，即,称为函数 的二阶差分。,同样可定义三阶差分，四阶差分，,二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。,由定义可知差分具有以下性质：,（1） （C为常数）,（2）,例1 求,（二）差分方程的一般概念,定义. 含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程。形如,的方程都是差分方程。方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数