闭区间上连续函数的性质(详细版).ppt

1,第十节,一、有界性与最大值最小值定理,二、零点定理与介值定理,*三、一致连续性,闭区间上连续函数的性质,第一章,2,学习指导,教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。 基本练习：了解并通过一定的练习学习最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在函数值的估计和根的估计上的应用。 3注意事项：闭区间上连续的函数有许多好的性质。应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们,3,如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在闭区间a,b上连续的。,4,并非任何函数都有最大值和最小值 例如，函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值,应注意的问题:,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值),5,例如,说明:,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,又至少有一点x2a b 使f(x2)是f(x)在a b上的最小值,至少有一点x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值,定理说明 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 那么,7,应注意的问题: 如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,例如 函数f(x)=x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,8,又如 如下函数在闭区间0 2 内既无最大值又无最小值,应注意的问题: 如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,9,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,证明 设函数f(x)在闭区间a b上连续 根据定理1 存在f(x)在区间a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b满足 mf(x)M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函数f(x)在a b上有界,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,10,有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,11,二、零点定理与介值定理,注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点,定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 即f(a).f(b)0，那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0,12,例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根 证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则f(x)在闭区间0 1上连续 并且 f(0)=10 f(1)=-20 根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x ,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 即f(a).f(b)0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0,13,定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 即f(a).f(b)0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0,14,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值,定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C,15,证,16,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,几何解释:,17,例2,证,由零点定理,18,三、一致连续性,定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续, 那么它在该区间上一致连续.,不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度。,定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的正数，总存在着正数，使得对于区间I上的任意两点x1,x2，当|x1-x2| 时，就有|f(x1)-f(x2)| ，那么称函数f(x)在区间I上是一致连续的。,19,思考题,下述命题是否正确？,20,思考题解答,不正确.,例函数,21,五、小结,关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理：,有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，,注意条件： 1闭