统计学之时间序列分析在经济预测中的应用

时间序列分析案例案例名称：时间序列分析在经济预测中的应用内容要求：确定性与随机性时间序列之比较设计作者：许启发，王艳明设计时间：2003年8月案例四：时间序列分析在经济预测中的应用一、 案例简介为了配合统计学课程时间序列分析部分的课堂教学，提高学生运用统计分析方法解决实际问题的能力，我们组织了一次案例教学，其内容是：对烟台市的未来经济发展状况作一预测分析，数据取烟台市19491998年国内生产总值（GDP）的年度数据，并以此为依据建立预测模型，对1999年和2000年的国内生产总值作出预测并检验其预测效果。国内生产总值是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果，是反映国民经济活动最重要的经济指标之一，科学地预测该指标，对制定经济发展目标以及与之相配套的方针政策具有重要的理论与实际意义。在组织实施时，我们首先将数据资料印发给学生，并讲清本案例的教学目的与要求，明确案例所涉及的教学内容；然后给学生一段时间，由学生根据资料，运用不同的方法进行预测分析，并确定具体的讨论日期；在课堂讨论时让学生自由发言，阐述自己的观点；最后，由主持教师作点评发言，取得了良好的教学效果。经济预测是研究客观经济过程未来一定时期的发展变化趋势，其目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以确定社会经济活动的发展水平，为决策提供依据。时间序列分析预测法，首先将预测目标的历史数据按照时间的先后顺序排列，然后分析它随时间的变化趋势及自身的统计规律，外推得到预测目标的未来取值。它与回归分析预测法的最大区别在于：该方法可以根据单个变量的取值对其自身的变动进行预测，无须添加任何的辅助信息。本案例的最大特色在于：它汇集了统计学原理中的时间序列分析这一章节的所有知识点，通过本案例的教学，可以把不同的时间序列分析方法进行综合的比较，便于学生更好地掌握本章的内容。二、 案例的目的与要求（一） 教学目的1 通过本案例的教学，使学生认识到时间序列分析方法在实际工作中应用的必要性和可能性；2 本案例将时间序列分析中的水平指标、速度指标、长期趋势的测定等内容有机的结合在一起，以巩固学生所学的课本知识，深化学生对课本知识的理解；3 本案例是对烟台市的国内生产总值数据进行预测，通过对实证结果的比较和分析，使学生认识到对同一问题的解决，可以采取不同的方法，根据约束条件，从中选择一种合适的预测方法；4 通过本案例的教学，让学生掌握EXCEL软件在时间序列分析中的应用，对统计、计量分析软件SPSS或Eviews等有一个初步的了解；5 通过本案例的教学，有助于提高学生运用所学知识和方法分析解决问题的能力、合作共事的能力和沟通交流的能力。（二） 教学要求1 学生必须具备相应的时间序列分析的基本理论知识；2 学生必须熟悉相应的预测方法和具备一定的数据处理能力；3 学生以主角身份积极地参与到案例分析中来，主动地分析和解决案例中的问题；4 在提出解决问题的方案之前，学生可以根据提供的样本数据，自己选择不同的统计分析方法，对这一案例进行预测，比较不同预测方法的异同，提出若干可供选择的方案；5 学生必须提交完整的分析报告。分析报告的内容应包括：选题的目的及意义、使用数据的特征及其说明、采用的预测方法及其优劣、预测结果及其评价、有待于进一步改进的思路或需要进一步研究的问题。三、 数据搜集与处理时间序列数据按照不同的分类标准可以划分为不同的类型，最常见的有：年度数据、季度数据、月度数据。本案例主要讨论对年度数据如何进行预测分析。考虑到案例设计时的侧重点，本案例只是对烟台市国内生产总值进行预测，故数据的搜集与处理过程相对简单。我们通过查阅烟台统计年鉴、烟台五十年等有关的资料获得烟台市19492000年共52年的国内生产总值资料数据（原始数据详见表3）。该指标是反映国民经济发展情况最重要的指标之一，我们选择该指标进行预测具有较强的实用价值。此外，预测的方法具有普遍的适用性，使用者也可以将其应用于其它的研究领域。资料数据是预测的依据和基础，一般是根据确定的预测目标及影响因素搜集有关的资料和数据，并结合初步拟定的预测模型，对所搜集的数据进行分析和处理，然后再选取适当的预测模型。我们可以将整个数据处理过程概括如下，见图1。明确预测目的确定预测内容收集和整理资料选择预测方法结果是否合理计算预测结果推荐预测结果进行综合评价精度的约束时间的约束资金的约束YN图1 经济预测流程图四、 建议使用的预测分析方法（一） 确定性时间序列分析法1 指标法：平均增长量法、平均发展速度法；2 趋势预测法：移动平均法、指数平滑法、曲线拟合法。（二） 随机性时间序列分析法1 ARIMA模型预测；2 组合模型预测。五、 案例分析过程（一） 确定性时间序列分析法1 平均增长量法该方法是利用历史资料计算出它的平均增长量，然后再假定在以后各期当中，它仍按这样一个平均增长量去增长，从而得出在未来一段时期内的预测值。根据烟台市的国内生产总值1949年1998年的观察值，我们计算出GDP的平均增长量为.69万元（水平法）和38437.81万元（总和法），利用其对烟台市1999年和2000年的GDP值进行预测并与实际GDP值1 1999年为万元，2000年为万元。比较，结果见表1。表1 平均增长量法预测结果1999年2000年GDP预测值（万元）预测相对误差（%）GDP预测值（万元）预测相对误差（%）水平法.75.69.412.44累计法.87.10.615.00AB图2 由平均增长量推算出的时间序列变化图教师点评：平均增长量法不仅得到了烟台市1999年、2000年GDP数据的预测值，而且还让学生认识到平均增长量预测法中水平法与总和法的区别所在，图1较明显地反映出平均增长量水平法与累计法计算的区别，即水平法仅考虑首尾年份的数值，而不考虑中间年份的数值变化，因而有；而总和法则考虑了整个样本区间上的总体变化情况，有，图2中A的面积和B的面积应该相等。2 平均发展速度法该方法就是利用时间序列资料计算出它的平均发展速度，然后再假定在以后各期当中，它仍按这样一个平均发展速度去变化，从而得出时间序列的预测值。我们计算出GDP在1949年1998年间的平均发展速度为113.036%（几何法）和112.248%（方程法）2 在该问题中几何法与方程法计算出的平均发展速度差别不大。，利用其对烟台市1999年和2000年的GDP进行预测得到结果见表2。表2 平均发展速度法预测结果1999年2000年GDP预测值（万元）预测相对误差（%）GDP预测值（万元）预测相对误差（%）几何法-4.47.6-7.49方程法-3.74.9-6.00教师点评：同平均增长量的计算方法一样，平均发展速度的计算方法也有两种，其中几何法也只是考虑起始年份的取值，有，而方程式法则要考虑到整个年份取值的变化，有，方程式法的内插预测曲线与原始曲线所夹的面积A和面积B也相等；在方程式法计算中，计算平均增长速度可以采取试错法（让学生尝试着编写小的循环程序求解）或插值法；同平均增长量的计算一样，平均发展速度的计算方法也有两种，其中几何法也只是考虑起始年份的取值，而方程法则要考虑到整个年份取值的变化；由预测的结果可以看出，无论是平均增长量法还是平均发展速度法只适于作短期预测，否则预测相对误差会显著提高。BA图3 由平均发展速度推算出的时间序列变化图3 移动平均法移动平均法是根据时间序列资料，采取逐项移动平均的办法，计算一定项数的序时平均数，以反映长期趋势的方法。移动平均法主要有简单移动平均法、加权移动平均法、趋势移动平均法等。这里主要介绍简单移动平均法。记为t期移动平均数；N为移动平均项数。由于移动平均可以平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使长期趋势显示出来，可以利用其进行外推预测。预测公式为：，即以第t期移动平均数作为第t1期的预测值。表3 移动平均预测结果年份序号t原始GDP三期移动平均值（T=3）五期移动平均值（T=5）19491826319501256391951229327195233499324409.67 195343672529986.33 195454079633681.67 28989.40 195564175237504.67 33496.00 195674820439757.67 36718.60 195784660843584.00 40494.00 195895175945521.33 42817.00 1959105869948857.00 45823.80 1960115934852355.33 49404.40 1961125227556602.00 52923.60 1962135340856774.00 53737.80 1963146201255010.33 55097.80 1964156540755898.33 57148.40 1965167601460275.67 58490.00 1966178838867811.00 61823.20 1967189175876603.00 69045.80 1968198222985386.67 76715.80 1969209206387458.33 80759.20 19702188683.33 86090.40 19712293298.33 92008.20 197223.00 98847.40 197324.67 .40 197425.33 .40 197526.00 .80 197627.33 .60 197728.00 .80 197829.00 .40 197930.67 .00 198031.00 .20 198132.00 .40 198233.00 .40 198334.00 .20 198435.33 .40 198536.33 .00 198637.00 .20 198738.67 .20 198839.33 .80 198940.67 .20 199041.33 .60 199142.33 .20 199243.67 .60 199344.67 .20 199445.67 .20 199546.67 .00 199647.00 .60 199748.00 .20 199849.00 .00 199950.67 .00 图4 烟台市GDP的移动平均预测曲线由图4，我们可以得出这样的结论：移动平均法对原始序列产生了一个修匀作用，并且移动平均所使用的间隔期越长，即N越大，修匀的程度也越大，但对原始数据的反应越不灵敏；反之，则反是。为此，我们需要依据误差分析选择间隔时期N，结果见表4。表4 烟台市GDP移动平均预测法的误差分析单位N=3N=5平均误差（ME）万元.35.80平均绝对百分误差（MAPE）%28.3340.611999年的预测相对误差%20.5827.36由表4中的分析可知，在N=3时产生的误差较小，因此，选定N=3进行预测，得到1999年烟台市GDP的预测值为.7万元。教师点评：简单移动平均法只适合作近期预测，且如果目标发展的影响因素发生较大的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后；移动平均法会损失一部分数据，因而需要的数据量较大；移动平均法对所平均的N个数据等权看待，而对期以前的数据则完全不考虑，这往往不符合实际。4 指数平滑法指数平滑法是移动平均法的改进和发展，它既不需要存储很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，且使用了全部历史资料。指数平滑的计算公式为：，其中：为权数，为一阶指数平滑值。二阶指数平滑就是在一阶指数平滑的基础上再进行一次指数平滑，高阶的依此类推。由于指数平滑存在着滞后现象，因此，无论一次指数平滑或二次、三次指数平滑值3 在具体计算时，取，。（数据略），都不宜直接作为预测值。但可以利用它来修匀时间序列，以获得时间序列的变化趋势，从而建立预测模型。由相应的指数平滑数值，可以建立如下的指数平滑二次曲线趋势预测模型。其中，、为当前时间点处的一次、二次、三次指数平滑值，为预测时段长。为了预测烟台市1999年和2000年的国内生产总值，可以取t=49，分别取1和2。由指数平滑数值可计算出：=.18，=.62，=.17，故得二次曲线指数平滑预测模型为： （1）分别令=1、=2得预测结果见表5。表5 指数平滑预测结果年 份1999年2000年预测值（万元）.99.17预测相对误差（%）-10.10-20.92教师点评：在作指数平滑时，涉及到初始值和权数的选取问题，不同的取值导致结果各不相同；由于指数平滑法也存在着严重的滞后现象，所以直接用平滑值去预测未来值会带来较大的误差，当建立指数平滑模型进行预测时，就会大大地减少预测误差。5 曲线拟合法多项式曲线拟合法亦称趋势拟合法或时间回归法，该方法根据时间序列随时间变化趋势，运用LS拟合一条曲线，而后利用该曲线随时间变化规律对时间序列的未来取值进行预测。我们根据烟台市GDP（19491998）资料拟合出如下曲线：GDP=29669.339+12267.158T-4330.927T2+473.564T3-18.571T4+0.244T5R2=0.9905。这里T为趋势项（1949年取值为0，以后每隔一年递增1），各估计参数均通过了显著性检验。GDP的实际值、拟合值和拟合残差如图5所示，图5表明曲线较好地拟合了数据的动态变化规律，拟合程度达到了99.05%。现在我们就用它来对GDP的未来取值进行预测，结果见表6。图5 曲线拟合图表6 曲线拟合预测结果年 份1999年2000年预测值（万元）预测相对误差（%）-17.05-24.57教师点评：拟合曲线类型的选取。在进行曲线拟合时，我们可以选取多项式曲线、指数曲线、对数曲线和增长曲线等，这里只是拟合了其中的多项式曲线，对于其它类型曲线留给学生课后讨论；多项式曲线阶数的选取。在多项式曲线拟合之前，首先要根据时间序列的变化规律确定拟合几次曲线，然后在具体选择阶数时要根据可决系数来确定，同时还要考虑到建模的节约性原则，在没有显著增加时，停止增加曲线的阶数；模型参数估计方法的选取。在估计模型参数时，既可以将非线性模型线性化，也可直接在Eviews3.0软件中作NLS估计，文中的结果便是直接估计得出。（二） 随机性时间序列分析方法在实际问题中，由于一些反映社会经济现象的时间序列可以看成是随机过程在现实中的一次样本实现，并且我们所遇到的经济时序大多是非平稳的（直观上看，它们带有明显的趋势性或周期性），所以可以将其视为均值非平稳的时序，用下面的模型来描述： （2）其中，表示序列中随时间变化的均值，是确定性趋势部分，可以用一定的函数形式来拟合；为中剔除随时间变化均值后余下的部分，可以认为是零均值的平稳过程，因而可以用平稳的ARMA模型来描述。在具体处理时，有两种方法可供选择。其一：不考虑的具体形式，通过一定的数学手段（差分运算、对数运算与差分运算结合）将其剔除，对余下的部分拟合ARMA模型，最后经过反运算由的结果得出的结果，实际上即是建立ARIMA模型；其二：考虑到的具体形式，用一定的函数拟合得，直到余差序列平稳，再对拟合ARMA模型得，最后综合两部分可得，实际上即是建立组合模型。在本案例中GDP是一个非平稳的序列。由GDP的时序图（见图2、图3和图4）可以看出它带有明显的增长趋势，初步将其识别为非平稳的，单位根检验结果（见表7）也证实了这一点。表7 单位根检验结果变 量ADF检验值检验类型（c,t,k）临界值结 论D.W.值GDP0.9319(c,t,1)3.5045不平稳1.5293GDP1.8229(c,0,1)1.6495*平稳1.9345y8.7682(c,0,1)2.9228平稳1.9411注：1检验类型中的c和t表示带有常数项和趋势项，k表示所采用的滞后阶数；2表中的临界值是由Mackinnon给出的数据计算出的在5%显著性水平下的临界值，带*号的为在10%的水平下显著。1 ARIMA模型预测第一步：模型识别。由于GDP水平序列是非平稳的，而一阶差分序列是平稳的。故我们对其一阶差分序列进行识别，根据样本自相关和偏自相关函数图初步将其识别为自回归（AR）类模型。第二步：模型定阶。由图6看出时间序列的自相关呈现拖尾性而偏自相关函数呈现出1阶截尾，则可将模型初步定为1阶自回归模型，然后再根据AIC准则确定的最优阶仍为1阶，从而可以对GDP拟合ARIMA（1,1,0）模型。图6 自相关、偏自相关函数图第三步：模型参数估计。在Eviews3.0中，我们采用OLS法对模型的参数进行估计，结果如下：D(GDP,1) = .5 + AR(1)=0. 4 软件中的这种做法避免了先对差分序列建立ARMA模型，然后再求和得到GDP序列的预测，它将这两个过程一次性完成。 (8.6387)R2=0.8762 F=325.467 AIC=25.9892其中D(GDP,1)为GDP的1阶差分序列，AR（1）为D(GDP,1)的1阶自回归项。第四步：诊断检验。我们发现模型拟合后的残差序列为白噪声序列，从而认为该模型是适应的，模型的拟合效果见图7。图7 ARIMA模型拟合图至此，我们已经建立了时间序列GDP的ARIMA（1,1,0）模型，接下来的工作就是利用该模型对数据进行预测。在Eviews软件中forcast菜单下使用dynamic方法，结果见表8。表8 ARIMA模型预测结果年 份1999年2000年预测值（万元）预测相对误差（%）-0.481.252 组合模型预测首先，建立组合模型，其过程如下：（1）拟合确定性趋势部分。由GDP的时间序列图可以看出，它具有指数上升的趋势。为此，我们可以将确定性趋势部分拟合成指数增长模型：5 参数估计时，使用了NLS，其初始值可由1978年的GDP数据初步确定；t的取值同曲线拟合法。，T为趋势项（取值同曲线拟合预测法）。（2）对剩余序列6 的单位根检验结果（见表7）表明它是一个平稳序列。用BoxJenkins法拟合适应的ARMA模型，模型为：，模型是我们选择的最优模型，建立的方法和过程同ARIMA模型的建立。（3）建立组合模型。我们以已估计出来的指数增长模型的参数和ARMA模型的参数作为初始值，用非线性最小二乘法对组合模型的参数进行整体估计，得到最终的组合模型。最终的估计结果见表9。表9 组合模型的估计结果估计方程GDP=EXP(T)+ (GDP(1) EXP(T1)+ (GDP(2)EXP(T2)变量FD.W.对应值605.1785(3.5301)0.1938(30.8869)1.6923(20.5398)1.1986(10.8913)0.9987278.13322.2440注：括号中的值为系数估计对应的t统计量JB=2.1124(0.351) Q(4)=8.538(0.074) Q(8)=15.253(0.067) ARCH(1)=0.711(0.79) WHITE=3.531(0.066) RESET(1)=2.37(0.184) 这里，前面的数据为统计值，括号中的数据为对应的尾概率。模型可以写成： （3）其中，我们对模型进行了一系列的统计检验。t统计量表明模型中各参数均是显著的；F检验表明模型从总体上看是显著的；JB检验表明残差的分布是正态分布；D.W.检验表明残差没有一阶自相关，Q检验表明残差没有高阶自相关；ARCH检验表明不存在异方差现象；RESET检验表明模型的设置是正确的。因而该模型是适应的。由图8可以看出模型具有较高的拟合程度，拟合优度达到了0.9981，它较真实地刻画了GDP序列的动态变化规律。故可以利用模型（3）对烟台市GDP数据的未来取值进行预测。图8 组合模型拟合图利用该组合模型进行预测，其结果见表10。表10 组合模型预测结果年 份1999年2000年预测值（万元）预测相对误差（%）-6.49-8.34教师点评：随机性时间序列分析是从系统的观点出发，既考虑到时间序列的确定性趋势，又考虑到它的随机波动性，在描述现实经济现象时，往往能得到令人满意的效果；组合模型的经济含义较ARIMA模型为强；案例中所讨论的组合模型实质为：回归模型时间序列模型。（三） 综合点评我们对烟台市的GDP数据进行了多种预测方法的尝试，得出了预测结果，并计算出预测的相对误差。其中对1999年进行预测时最大的误差值达到20.58%，是由移动平均法所得到的，对2000年进行预测时最大误差达到24.57%，是由曲线拟合法所得到的；对这两年的值进行预测时，最小的误差分别为：0.48%和1.25%，均是由ARIMA模型预测法所得到。总的看来，随机性时间序列分析的预测误差较确定性时间序列分析的为小；而时间序列模型法的预测误差又较指标法的为小。总之，在案例中解决问题的方案不是唯一的，但存在一个相对优良的解决方案，学生们应该根据资料及限制条件在各种方案优缺点的比较中找出相对优良的方案。六、 需要讨论和解决的问题（一） 课堂上需要讨论的内容学生可以分成小组，根据学生所学知识，对本案例进行分析，提交分析报告，在课堂上由老师组织讨论和交流。讨论的具体内容包括：1 试述时间序列分析的基本思想；2 在移动平均分析中，移动项数N如何选择；3 指数平滑中，平滑系数的选择十分重要，值既代表模型对时间序列变化的反应速度，又决定预测中修匀随机误差的能力，应如何进行平滑系数的选择；4 在进行随机性时间序列分析时，模型检验结果的含义及如何进行模型的选优；5 让学生分析和比较各种不同预测方法的特点、适用条件和在计算过程中应该注意的问题等，并对预测效果作出评价；6 指出各种预测方法的不足，提出改进措施；7 资料搜集与数据处理应注意的问题（1） 对所得的资料、数据如何进行初步诊别；（2） 在进行多指标的时间序列分析时，要注意数据之间的可比性。包括：时间、空间、指标的内容和计算方法等；（3） 对于无数量标志的因素，如何采用适当的方法使之数量化；（4） 关于异常数据的处理；对于不真实的数据，或即使是真实数据，但不能反映预测变量正常变化情况的异常数据，应进行分析、处理。注意在数据不多的情况下，若将异常数据剔除掉，则会使数据更少，不利于建立合适的预测模型。因此，可以在分析产生异常数据原因的基础上，根据历史数据变化发展的趋势，对数据进行适当的插补处理7 如果预测方法采用的时间序列分析法，则可将异常数据的前后两期数据取算术平均值或几何平均值作为异常数据的修正值。在具体选择时，若历史数据的变化呈线性趋势时，则宜采用算术平均值作为修正值。若历史数据的变化呈曲线趋势时，则宜用几何平均值作为修正值。（二） 需要进一步讨论的内容8 任课教师可以根据学生学习情况的不同，有针对性地组织该部分内容的讨论。1 认识回归分析和时间序列分析的异同线性回归模型和时间序列模型是两类常用的预测模型。两者相比，各有千秋9 详见参考文献11。前者可含、也可不含解释变量的滞后项，而后者有自回归模型AR(p)、滑动平均模型MA(q)、自回归滑动平均模型ARMA(p,q)；前者可以是年度、季度、月度模型，但不能揭示出被解释变量的非线性特征，而后者是季度或月度模型，能揭示出被解释变量的非线性特征；前者的解释变量涵义明确，政策分析性强，而后者的解释变量是被解释变量的滞后项或平滑项，政策分析性弱；前者的估计简单，直接使用最小二乘法，但对含解释变量的滞后项的回归模型，则需要识别它的阶数，而后者的几种类型的模型均需要先估计它的阶数后，使用最小二乘法；利用前者进行预测时需要知道解释变量的预测值，这又是一个预测问题，而利用后者进行预测时不存在这个问题。2 了解组合模型的构造原理本案例把回归模型和时间序列模型结合起来构成组合模型，研制出一种回归与时间序列加法模型，提高了拟合程度和预测能力。除此之外，我们还可以构造其它的组合预测，只要我们采用某种恰当的方法，把不同模型的计算结果综合起来，相互取长补短，就能达到提高预测精度和增加预测结果可靠性的效果10 详见参考文献14。3 掌握模型建立过程中有关技术性问题在预测过程中，建立预测模型会遇到一些技术性的问题（如：方程式法平均发展速度指标的计算问题，非线性模型的线性化问题，NLS估计的初始值选择问题，ARIMA模型理论估计与软件中的做法区别问题等），这些问题的解决，对学生独立思考问题的能力也是一个有益的训练。4 各种预测方法的特点不同的预测方法有各自的特点：（1）预测的时间范围不同，有的适宜作短期预测，有的可以作中、长期预测；（2）条件不同，有的方法计算复杂，需要时间序列资料苛刻，有的则比较简单，对资料要求也不高；（3）适用场合不同，有的对任何时间序列资料均可，有的只适合于平稳发展的时间序列，有的对时间序列的具体变化形态还有要求；（4）预测精度不同，有的具有较高的精度，有的只是作一种趋势性的判定，建模者可以根据一些指标（如：平方和误差：；平均绝对误差：；均方根误差：；平均绝对百分比误差11 一般认为如果MAPE的值低于10，则认为预测精度较高。：；均方百分比误差：；Theil不等系数12 根据均方误差的分解，还可以定义三个与希尔不等系数相关的指标。偏差率BP反映了预测值均值和实际值均值间的差异；方差率VP反映了它们标准差的差异；协变率CP反映了剩余的误差。值得说明的是：CP=1-BP-VP，当预测是比较理想时，均方误差大多数集中在协变率上，而其余两项都很小。：）13 这里为实际值，为拟合值或预测值；、和属于绝对指标，其它属于相对指标建议使用。进行适当的选取。附一：参考文献1 王振龙：时间序列分析，中国统计出版社，2000、2；2 易丹辉：统计预测方法与应用，中国统计出版社，2001、4；3 王庆石、卢兴普：统计学案例教材，东北财经大学出版社，1999、12；4 江之源：经济预测方法与模型，西南财经大学出版社，1999、9；5 暴奉贤、陈宏立：经济预测与决策方法，暨南大学出版社，1991、12；6 庞皓、杨作廪：统计学，西南财经大学出版社，2001、2；7 Pindyck,Rubinfeld著，钱小