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第二部分 群论应用 第一章 点群,(一) 晶体点群 2 一, 晶体的点对称性 (1) 晶体的周期性对晶体点对称性的限制 晶格原子的周期性: l1 a1 + l2 a2+ l3 a3 ( 三维布拉伐格子 ) 取布拉伐格子中垂直于转轴的晶面 l1 a1 + l2 a2 （二维布拉伐格子） A 和 B 是格点, A 和 B 也是格点, 则有 BA = m AB = m a1 ( m 为正整数倍 ) BA = AB ( 1 - 2 cos) = m AB m = 1 - 2 cos ( 1 cos -1 ) 又 cos 1 m = -1, 0, 1, 2, 3 五个值 相应地有 = 0o, 60o, 90o, 120o, 180o n 重转轴 n = 1, 6, 4, 3, 2 *,(2) 晶体的点对称要素 3 晶体有如下十个点对称要素: 1, 2, 3, 4, 6 (转轴) 1, 2, 3, 4, 6 (转轴 + 反演) 其中 1 = i, 2 = m = iC2 由此十个点对称要素组成的晶体对称群称为晶体点群 ( 有一 不动点 ) (3) 对称要素构成群所受的限制（源于群的封闭性等） 例如: A 为绕 2 轴转角 （N 和 N互换） B 为绕 2轴转角 ( N 和 N互换 ), 两转轴夹角为 C = BA ( N和N还原；但 2 轴绕NN轴转到2”轴, 转了2 ) 提问: C为何操作? 由前述可知, 2可取: 0o, 60o, 90o, 120o, 180o 答案: C ( 2 ) 则, 可取: 180o, 30o, 45o, 60o, 90o 即晶体点群中，两二度轴之夹角 可取; 30o, 45o, 60o, 90o, 180o 此限制对四度轴和四度反演轴也适用 *,4 问题1: 一晶体点群含有夹角为 30o 的两个二度转轴A和B, 问该晶 体点群必有转轴和转角是什么的转动操作? 为什么? 答案: 一定有转轴垂直于该两二度轴、转角为 60o 的转动操作, 根据群的封闭性, 必有 C = B A = C ( 2 ) 问题2: 该晶体点群有 30o 的转动操作吗? (一定有, 一定无, 不一定) 为什么? 答案: 一定无. 因为晶体点群不允许 30o 的转动操作 问题3: 一晶体点群含有夹角为60o 的两个二度转轴A和B, 问该晶 体点群有120o 的转动操作吗? ( 一定有, 一定无, 不一定 ) 为什么? 答案: 一定有120o 的转动操作, 如D3 群. 理由同上, 群的封闭性 问题4: 该晶体点群有 60o 的转动操作吗? (一定有, 一定无, 不一定) 为什么? 答案: 可能有, 晶体点群允许此转角; 但不一定有, D3 群就没有 *,二, 晶体点群的表示方法 5 (1) 熊夫利斯（Schoenflies）符号 1, 特点: 1) 字符少: 少则一个, 如 O, T; 多则三个，如C2v, D6v. 2) 直接表示了对称性的主要特征 如 C4h 表示有四次对称轴和垂直于该轴的对称面 2, 点对称操作的符号 （如前面所用的） 1) E，不变操作 2) Cn，转角为2/n 的正当转动 （n = 1，2，3，4，6） 3) Sn，转角为2/n 的非正当转动 （n = 1，2，3，4，6） Sn = Cn ( Cn ), 如 S2 = C2 = i 4) , 镜面反映 h, 垂直于主转轴（最高次转轴）的镜面; v, 通过主转轴的镜面 d, 通过主转轴且平分垂直该轴的两个二度轴夹角的镜面 5) i，对原点的中心反演 *,3, 点群的符号 6 1) Cn，含有 Cn 对称操作的晶体点群; 2) Sn，含有 Sn 对称操作的晶体点群; 3) D 或 V，含有多于一个二度轴的晶体点群, 如 D3 群为 E，3C2 ，2C3 ，含有三个 C2; 4) T 或 O，含有多于一个 n 2 的转轴的晶体点群; 5) 下标： n, 主轴的度数 h，含有h; v，含有v; d，含有d; i, 含有 i. 4, 32 个晶体点群的符号 1) 按晶系分组 *,晶系 熊夫利斯符号 国际符号 7 三斜晶系: C1 1 Ci ( S2 ) 1 单斜晶系: C2 2 CS ( C1h ) m ( 2 ) C2h 2/m 正交晶系： C2V m m（m m 2） D2 2 2 2 D2h m m m (2/m 2/m 2/m) 三角晶系： D3d 3 m（3 2/m） S6 3 C3 3 C3V 3 m D3 3 2 *,四角晶系 D4d 4/m m m（4/m 2/m 2/m） 8 C4 4 S4 4 D4 4 2 （4 2 2） C4V 4 m m C4h 4/m D2d 4 2 m 六角晶系 D6h 6/m m m（6/m 2/m 2/m） C6 6 C3h 6 C6h 6/m C6V 6 m m D6 6 2 （6 2 2） D3h 6 m 2 *,立方晶系 Oh m 3 m （ 4/m 3 2/m ） 9 T 2 3 O 4 3 （ 4 3 2 ） Th m 3 （ 2/m 3 ） Td 4 3 m 2) 按点群符号分组 C1，Ci，CS （3） C2，C3，C4， C6 （4） D2，D3，D4， D6 （4） C2V，C3V，C4V， C6V （4） C2h，C3h，C4h， C6h （4） D2h，D3h，D4h， D6h （4） D2d，D3d （2） S4，S6 （2） T，Th，Td （3） O，Oh （2） *,(2) 国际符号 10 1, 特点: 1) 这是一个完整的符号体系， 既可表示 32 种晶体点群, 也可表示 230 种空间群 2) 形式简洁 2, 晶体点群对称元素的符号 1) 1，2，3，4，6 分别代表 C1，C2，C3，C4，C6 ; 2) 1 代表反演中心 i ; 3) 2，3，4，6 分别代表 i C2，i C3，i C4，i C6 ; 4) m 代表所有的对称面，其中包括h，v，d， 5) 用 “ / ” 将同一方位上的两个对称元素分开。 6) 最多可以有三个方位。 *,11 3, 32 个晶体点群的国际符号 1) 32 个晶体点群的国际符号如前表的右边一列所示, 表中括 号中的符号是括号前符号的详述，内容更为详尽。 2) 利用前表可以得到任一晶体点群的国际符号和所对应的熊 夫利斯符号。并可在一般关于物理的群论书上查到该晶体 点群的全部对称元素和不可约表示特征标表。 *,三, 晶体点群不可约表示的符号 12 (1) 晶体点群不可约表示的 Mullikan 符号 1, A (a): 一维不可约表示，其基矢对绕主轴转动是对称的； 2, B (b): 一维不可约表示，其基矢对绕主轴转动是反对称的; 3, E (e): 二维不可约表示； 4, T (t) : 三维不可约表示; 5, 下标：u: 基矢对于反演操作 i 是反对称的不可约表示; g: 基矢对于反演操作 i 是对称的不可约表示 ; 6, 上标: : 基矢对于镜面反映h 是对称的不可约表示; ” : 基矢对于镜面反映h 是反对称的不可约表。 注: 1) 主轴为最高次转轴，且通常选为轴； 2) “对称” 表示特征标为正; “反对称” 表示特征标为负 *,(2) 不可约表示的基矢 13 1, 基矢（基函数）的种类 X, Y, Z （可代表沿，方向的平动） X2，Y2，Z2，X2Y2，X2Z2，Y2Z2，X2Y2Z2 XY, YZ, XZ Rx , Ry , Rz （可代表绕 ， 轴的无穷小转动） 2, 基矢数 基矢数 不可约表示的维数 如： ( f ); ( f1, f2 ); ( f1, f2, f3 ) 一维 二维 三维 (3) 不可约表示的特征标表 32 个晶体点群的不可约表示特征标表(其中给出部分基函数) , 这可在一般关于物理的群论书上查到. *,(二) 非晶体点群 14 人们将点群分成晶体点群和非晶体点群两类; 非晶体点群不受晶体对称性 ( 晶格周期性 ) 的限制 ; 分子 ( 如 H2O , BF3 , B20, C20H20 和C60 等 ) 所属的对称群及离 子场所属的对称群 ( 完全转动群 ) 皆属非晶体点群. 一, 正二十面体所属的点对称群 ( 见图, 见动画 ) 例如, H13 (有心), B20 和 C20H20 具有正二十面体结构 (1) 正二十面体的对称元素分析 1, 正二十面体的几何元素 1) 12 个顶点 2) 30 个棱 3) 20 个正三角面 正二十面体结构示意图 *,2, 正二十面体的对称元素 15 1) 五度轴 每一对相对顶点的