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第3节 二次型与二次型的化简,下页,一、二次型的定义,二、二次型的化简（矩阵的合同）,二次型概念的引入,下页,ax2 + 2bxy + cy2 = 1,a b b c,1/25 0 0 1/9,定义1 含有n个变量的二次齐次多项式,叫做n元二次型，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, ,n)都是实数时, 称为实二次型.,一、二次型的定义,特别地, 只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形.,下页,练习：,下页,二次型的矩阵形式,令,下页,得,下页,下页,，其中,实对称矩阵称A为二次型系数矩阵, A的秩称为二次型的秩.,若二次型f是标准形,即其系数矩阵是对角矩阵.,下页,其中,其中,则 f 的矩阵形式为,例1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩.,(1),(2),(2)二次型,系数矩阵为,因r(A)=3, 故二次型的秩等于3.,因r(B)=2, 故二次型的秩等于2.,解: (1)二次型,下页,系数矩阵为,二次型的化简,下页,二次曲线ax2+bxy+cy2 =1,m(x)2 + n(y)2 = 1,由变量y1, y2, yn到x1, x2, xn的线性变换,若|P|0，则上述线性变换称为可逆(满秩)线性变换.,记作 X=PY.,问题：如何找一个可逆线性变换X=PY，使得将其代入二次型 后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式(标准形) .,化二次型为标准形,下页,现将X=PY代入二次型，得,上式右端是关于变量y1, y2, yn的二次型. 如果其为标准形为,下页,比较上式两端得：,所以，寻求满秩线性变换X=PY，把二次型 f (X) 化为标准型，从矩阵的角度讲，就是寻求满秩方阵P，使得,二、矩阵的合同,定义2 设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使,则称A与B合同，也称矩阵A经合同变换化为B，记做A B,可逆变换P称为合同变换矩阵。,性质：,（4）合同变换不改变矩阵的秩,（5）对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵,下页,我们知道，化二次型f (X)为标准形的问题，就是寻求可逆方阵P， 使A合同于对角矩阵，即,定理1 任何一个实对称矩阵A都合同于对角矩阵。 即对于一个n阶实对称矩阵A，总存在可逆矩阵P， 使得,下页,其中r是矩阵A的秩。当
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