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二 数列的前n项和的求法与应用举例,2019年6月25日星期二,1 数列的前n项和的求法(一),公式法：即直接利用等差数列与等比数列的前n项和公式进行求和。 注意： (加法结合律) 例1 (1)求和： (2)求和：,(1)求和： 分析： (1)中每一项是两项的差，被减数依次构成等差数列，减数依次构成等比数列 解： (1)原式,(2)求和： 分析：(2)中每一项不是两项和(或差)的形式，这怎么求和呢?能不能把每一项(即通项)变换形式，“拆一下”呢? 解：,通项,原式,2 数列前n项和的求法(二),倒序相加法： 先求 等差数列的前n项和公式 利用了倒序相 加法在公式的推导过程中，利用了等差数列的一个重要性质，即,例2 求分母为3，包含在正整数2 004与2 008之间的所有不可约分数的和 解：满足题意的数构成以下数列： 共8项，它既非等差也非等比数列但与首末两端等距离的项的和都是(2 004+2 008)，所以可以用等差数列的求和方法倒序相加法设和为S，则,3 数列前n项和的求法(三),裂项相消法 在求非等差、非等比数列的前n项和时，将每一项(即通项)拆成若干项，在做加法时，中间的项“全部抵消”，只剩下首、末的有限项，从而得到和(此法叫做裂项相消法) 例3 求和： 分析： 利用裂项法，使得裂项后有诸多项能相互抵消,解： (1) 原式,解： 原式,例4 已知各项不为零的等差数列an，求证： 证明：,左边,得证,4 数列前n项的求法(四),错位相减法 错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an是等差数列，bn是等比数列 例5 求和 解：当a=1时，,当a1时，在上式两边同乘以 得 与 两式相减，,得,即,综上得,应 用 举 例,例6 由甲地发往乙地的一列火车，沿途停靠n个站(包括起点站和终点站)，车上有一节邮政车厢，每停靠一站要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时再装上该站发往后面各站的邮袋一个，设从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak个(k=1，2，n)试求： (1)数列ak的通项公式； (2)k为何值时，ak最大?求出ak的最大值,解：(1)由题意第l站应装上邮袋(n-l)个，卸下邮袋0个；第2站应装上邮袋(n-2)个，卸下邮袋l个第k站应装上邮袋(n-k)个，卸下邮袋(k-1)个因此从第l站到第k站，装上的邮袋总数为 而卸下的邮袋总数为,若n为偶数；当 时，ak的最大值为 若n为奇数,当 或 时, ak的最大值为,评析： 建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比 模型，还是递推数列模型?是求an还是求Sn，n是多少?,小 结,非等差(比)的特殊数列求和，其规律性很强: (1)设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解法或错位相减法来完成； (2)不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通过裂项相消法求和； (3)错位相减法和倒序相加法是课本中推导等比(
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