《二元函数的极值》PPT课件.ppt

第6章：多元函数微分学,内容提要,6.4 二元函数的极值 6.4.1 无条件极值 6.4.2 条件极值,6.4.1 无条件极值,极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为极值点.,定义6.7 设二元函数z =f (x, y)在(x0,y0)点的某个 邻域 内有定义,如果对于任意 当 时恒有 成立,则称 为函数 的极小值,点 称为极小值点;如果对于任意 当 时恒有 成立,则称 为函数 的极大值,点 称为极大值点.,1. 极值的概念,6.4.1 无条件极值,1. 极值的概念,例如:函数z=x2+y2在点(0,0) 取到了极小值, (0,0) 点为该函数的极小值点.,分析：该方程所表示的图形？,首先用平面z=c 来截该图形,可将z=c 代入方程中得截口为x2+y2=c。当c0时，它是半径为 的圆，且平面往上平移时圆愈来愈大;当c=0时,有x2+y2=0 即: x=0, y=0,可见这时截口仅是一个点,即原点; 而当c0 时,由于方程x2+y20无意义,可见当平面位于坐标平面下方时无截口,说明该图形必位于坐标平面的上方.,6.4.1 无条件极值,1. 极值的概念,例如:函数z=x2+y2在点(0,0) 取到了极小值, (0,0) 点为该函数的极小值点.,综上可见,该图形是抛物线绕轴旋转一周所得到的曲面,称该曲面为旋转抛物面.,6.4.1 无条件极值,2. 极值的必要条件,定理6.2 如果函数f (x, y) 在(x0, y0) 点处存在一阶偏导数，且在点(x0, y0) 取到极值,则必有,证明：令y=y0，则z= f(x, y)是x的一元函数。因二元函数f(x, y) 在点（x0，y0）取到了极值,不妨假设是极大值，则一元函数 在点x0 必也达到极大值。又因函数f(x, y)在点（x0，y0）存在偏导数,所以一元函数z= f(x, y0) 在点x0必可导。 于是,根据一元函数极值的必要条件得,同理可证,6.4.1 无条件极值,2. 极值的必要条件,定理6.2 如果函数f (x, y) 在(x0, y0) 点处存在一阶偏导数，且在点(x0, y0) 取到极值,则必有,注1：该定理仅是取极值的必要条件,并非充分条件. 注2：常称使得 的点 为函数 的驻点. 注3：驻点不一定就是极值点. 注4：极值点有可能是驻点,也有可能是一阶偏导数不存在的点.,6.4.1 无条件极值,3. 极值的充分条件,定理6.3 设二元函数 f (x, y) 在(x0, y0) 点的某一邻域内有连续的二阶偏导数,且(x0, y0) 点为函数f (x, y) 的驻点。记： 当B2-AC0时， f (x0, y0) 不是极值； 当B2-AC0时， f (x0, y0) 是极小值； 当B2-AC=0时，不能判定 f (x0, y0) 是否为极值，需其他方法判定。,6.4.1 无条件极值,4. 求二元函数极值的一般步骤,(1)求二元函数的偏导数,令两个偏导数为零,求出驻点; (2)求出二阶偏导数,计算B2-AC ; (3)将驻点分别代入 B2-AC 求出值,根据定理6.3判断是否为极值点,然后再根据A在极值点处值的符号确定是极大值点还是极小值点; (4)求出极值点的函数值即为函数的极值.,再将 点代入得 ,所以 点是极值点,又由于 ,所以 点是极小值点.,将 点代入得 ,所以 不是该函数的极值点.,6.4.1 无条件极值,例1：求二元函数 f (x, y) = x3+y3-3xy 的极值.,解:,令,得方程组 解之得:,于是得其驻点为,求二阶偏导数得,因此,其极小值,6.4.1 无条件极值,例2：设某企业生产两种产品A和B,已知其总成本C(万元)与A、B两种产品的产量x (百件)与y (百件)之间具有如下关系: 试问A、B两种产品的产量分别为多少时可以使得总成本最低?,故:当A、B两种产品的产量分别为100件和200件时,可使总成本最低.最低成本为5万元.,解:,令 得方程组,而 所以,因此(1, 2)为极小值点, 又由于仅有唯一一个极值点,因而它也是最小值点。此时C(1,2)= 5(万元),解得驻点为（1, 2）,6.4.2 条件极值,1. 条件极值的概念,在求函数 z = f (x, y)的极值时,有时其自变量 x, y 会受到另一个方程 g(x, y)=0 的制约, 我们称这样的函数极值为条件极值,其中称方程 g(x, y)=0 为约束条件.,以上条件极值问题是针对二元函数定义的。类似的也可以定义三元、四元及更多元的条件极值,且它们的约束条件可以不止一个,但要注意约束条件的个数须小于自变量的个数.,6.4.2 条件极值,2. 条件极值的解法,条件极值一般有两种解法: (1)化为无条件极值法 在条件极值中,可以从约束条件g(x, y)=0中解出变量y (或变量 x),代入目标函数中,则可将条件极值问题转化为无条件极值问题,这种方法称之为化无条件极值法;但条件极值往往很难化为无条件极值. (2)拉格朗日乘数法直接求条件极值问题的方法,(2)拉格朗日乘数法解题步骤,构造拉格朗日函数 分别求L(x, y, z) 对x 、y、 的偏导数,令其为零建立方程组 (3)判断(x0,y0)是否为极值点(一般可以根据实际问题的背景判断即可).,6.4.2 条件极值,2. 条件极值的解法,并解该方程组得(x0, y0),6.4.2 条件极值,例3: 某化妆品公司计划通过报纸和电视台做化妆品的促销广告.根据统计资料,销售收入R与报纸广告费用x (百万元)和电视广告费用 y (百万元)之间有如下关系:,(1)若不限制广告费的支出,求最佳广告策略; (2)若可供使用的广告费为150万元,求相应的最佳广告策略.,解: (1)纯销售收入=销售收入-广告费支出 因此该公司的纯销售收入为,原问题转化为求使得该函数达到最大值时的自变量的取值.,6.4.2 条件极值,求上式的无条件极值，令,解之得驻点为,又,所以,又,所以 是极大值点,又因为极值点仅有唯一一个,所以它也必然是最大值点,即报纸广告费投入75万元,电视广告费投入125万元为最佳广告策略.此时该公司纯销售收入最高