毕业论文数学建模竞赛全国二等奖论文.doc

输油管的布置摘要：针对两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间的距离等各种不同情形，分析了车站与两炼油厂三者间的关系，建立了管道建设费用的数学模型。在问题一中，建立了四种不同情形下铺设管线费用最省的方案，利用费尔马点的相关性质，对共用管线与非共用管线的不同费用，建立了关于总费用的函数关系式。在问题二中，利用第一问建立的数学模型，结合问题二的题设，在计算城区管线附加费用时，利用求解加权平均数建立了新的函数关系式；在问题三中，根据实际需要，结合管线费用的不同，又建立了相应的函数关系式，解出了最省费用时管线的布置方案。关键词：管道建设，最短距离，费尔马点一、 问题的重述要在铁路线的一侧建造两家炼油厂，同时在此铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，于是我们需要建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，建立管线建设的设计方案。在计算费用时，还要考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形；2.两炼油厂的具体位置如图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元（铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用）， 要求设计管线布置方案及相应的费用；注：聘请的三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）对此附加费用的估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）2124203. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。设计出管线最佳布置方案及相应的费用。二、 问题分析本文主要研究如何布置输油管及确定相应的车站位置，使得总建设费用最少。我们把两炼油厂及车站的连线看成一个三角形，当共用管线与非共用管线的价格相同时，要使建设费用最省，我们只要使得两炼油厂到车站的距离和最小。我们利用费尔马点及相关性质，针对两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间距离的各种不同情形设计出了相应的费用最省的管道铺设方案。当共用管线与非共用管线的价格不同时，我们可以建立总费用（P）与管道接点到铁路线的距离（h）、管道接点到A炼油厂的距离（t）之间的一个函数关系式 进而求出费用最省时的h与t值，也就确定了此时费用最省的输油管的布置。针对城区管道的铺设需要增加额外费用，我们可以建立总费用（P）与费尔马点到铁路线的距离（h）之间的函数关系式P（h）=令，可计算出相应的费用最省时的h的值（1.854），再将其代入函数关系式，计算出最省的费用Pmin(282.6948 )。当管线铺设费用分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元时，利用同上的方法求出相应的总费用P与费尔马点到铁路线的距离（h）的函数关系式，进而求出相应的最省费用时的h与费用Pmin。三、 模型假设与约定1. 假设公司一的加权平均数为0.5，公司二、三的加权平均数均为0.25；2. 假设管道交接处不需额外费用；3. 假设每一段管线都为直线；4. 忽略管线铺设过程中造成的非预期费用。四、 符号说明及名词定义费尔马点：到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。对于一个顶角不超过120度的三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点。对于一个顶角超过120度的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。L 表示炼油厂间距 Pn 表示总费用 A 表示炼油厂一 B 表示炼油厂二M 表示火车站位置 a 表示炼油厂一到铁路线的距离Sn 表示铺设管线长度 n=1,2,3 表示城区管线每千米所需费用 b 表示炼油厂二到铁路线的距离 p 表示每千米非共用管线的费用kp 表示每千米共用管线和附加费用的总和 （k1）五、 模型建立与求解问题一的模型：1.当共用管线与非共用管线费用相同时：要使得总费用最省，只须使得两炼油厂到车站的距离和最小，因此我们可以把两炼油厂与车站的连线看成三角形，用费尔马点来确定最短距离。但由于两炼油厂间的距离及它们到铁路线的距离是不确定的，因而会出现以下几种情型：当，时，如图2，点D( x ，0)，使得。 解得：x=当车站建在D的左侧时，根据费尔马点定义可知A为费尔马点，当车站位于M点时所需铺设的管线长度最小(如图3)，最小长度为S1：S1=AB+AC= ，此时对应的费用为当车站建在D的右侧时，根据费尔马点定义找出费尔马点O，由铁路线与A，B两炼油厂及费尔马点的关系，如图。当O在弧AB上运动时，由费尔马点定义可知，费尔马点必在弧AB上运动，则最短距离为：Smin=OA+OB+OM 解得：o1=m1 ， 所以车站建在费尔马点正下方时距离和最小。 S2=OA+OB+OM OA= OB= OM=x解得：S2= ，最省费用为P2= 综合、，则最短距离Smin=min S1，S2 ，最省费用为Pmin=min P1，P2 当，时，此时最短距离同上车站建在D右侧，即S3=S2= ， 最省费用为 当L=0，此时车站在A、B的正下方C处，则最短距离Smin=b，最省费用为P4= (如图5) 当时，此时车站位于AB之间距离最短Smin=L，最省费用为P5= (如图6)2.当共用管线与非共用管线费用不同时，令非共用管线的价格为p，共用管线的价格为kp(k1)，如图7，设管线交接点O(t，h)。则建立函数关系： P(h,t)= 解得：令 =0=0解得h= 2/(b2-4*b*h+2*b*a+a2-4*a*h+L2+4*h2)(1/2)*(a-2*h+b)*P t= L*(a-h)/(a-2*h+b)问题二的模型： 由于II区域需付附加费，因此要尽量使在II区域内的管线短些。但在II区域的管线变短的过程中，I区域的管线则变长了。根据第一问的分析，我们可知在I区域时，距离最短。如图7；则铺设管线的总费用：P=P1+P2p=7.2 解得总费用： P=P1+P2 = 令，即解得x=0.063，h=1.854则当h=1.854时费用最少，Pmin=282.6948 S1 = 6.292 S2 = 12.166 S3 =5.0004管线布置方案如图7乙所示：问题三的模型：当管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上时，总费用解得令 ，得h=1.80232此时最小费用为Pmin=253.492293六、 模型检验及改进模型的检验问题二模型检验 问题三模型的检验hP1290.3451.5284.0681.854282.69482282.9352.5287.448hP1259.73291.5254.27331.80232253.49232253.74012.5260.3487模型的改进由于在实际操作过程中，难免会产生材料的损失等其他费用，因此我们应在模型后加上一个额外费用（Q）问题二的模型应改为：P=P1+P2 = +Q问题三的模型应该为：+Q参考文献：1 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003；2 刘鹏林，林元重，黄清兰，高等数学（上），北京：高等教育出版社，2010；3 万福永，戴浩晖，潘建瑜，数学实验教程（Matlab），北京：科学出版社，2006；附录：图像： 编程：问题一：syms a h t L bE1=sym(-P*(a-h)/(a-h)2+t2)(1/2)+(b-h)/(b-h)2+(L-t)2)(1/2)+kp=0)E2=sym(P*t/(a-h)2+t2)(1/2)-P*(L-t)/(b-h)2+(L-t)2)(1/2)=0);h,t=solve(E1,E2)问题二：syms a b L x;E1=sym(sqr(3)*(a-x)+sqr(3)*(b-x)-L=0);x=solve(E1);OA=2*(a-x);OB=2*(b-x);OM=x;S2=OA+OB+OMsyms x h L;S1=2*(5-h);S2=2*(8-x-h);S3=(25+x2)(1/2);E1=(3(1/2)*(5-L)+3(1/2)*(8-x-h)=15);P=solve(S1*5.6+S2*6+S3*27.5)syms p h;E1=sym(28.7*2*(-2)*(13-5*1.732-2*h)/(2*(25+(13-5*1.732-2*h)2)(1/2)+7.2 =0);h=solve(E1)问题三syms x h t;E1=sym(5.6*x/(5-h)2+x2)(1/2)=6*(15-x)/(15-x)2+(8-t-h)2)(1/2);E2=sym(5.6*(5-h)/(5-h)2+x2)(1/2)+6*(8