经济数学44换元积分法.ppt

,ESC,4.4 换元积分法,4.4 换元积分法,不定积分的第一换元积分法（凑微分法）,不定积分的第二换元积分法及定积分的换元积分法,ESC,这是因为,例如,所以,换元 积分法,要解决上述问题,可进行适当的变量替换,在利用基本积分公式对被积函数 求不定积分 时,要求积分变量 与被积函数 中的元(即 )必须严格对 应.只有这样才能直接积分.否则,就不能利用直接积分法.,一、 第一换元积分法,ESC,这是因为,例如,的原函数.,不是,换元 积分法,所以,令,则,被积函数,被积表达式,所以,换元 积分法,一、第一换元积分法,ESC,换元 积分法,令,则,由于,即 是 的原函数.所求不定积分是正确的.,上述方法具有普遍性,是否正 确呢?,一、第一换元积分法,ESC,分析,案例1,求不定积分,微分法,积分法,对于复合函数,令,则,对 的导数为,将上式右端求不定积分:,复合函 数导数,以上积 分过程,一、第一换元积分法,ESC,第一换元 积分法,设,若 是可微函数, 则有,一、第一换元积分法,ESC,换元积分法公式,这是 的函数,案例的计算过程,这是 的函数,这是 的导数,这是 的导数,一、第一换元积分法,例1,求,解,ESC,被积函数是两个因子: 和 的乘积,注意到,视,则,的函数,而因子,设,则,于是,可用换元 积分法,一、第一换元积分法,例2,求,解,ESC,被积函数是两个因子: 和 的乘积,视,于是被积函数具有形式,则,于是,可用换元 积分法,因,设,一、第一换元积分法,例2,求,解,ESC,被积函数是两个因子: 和 的乘积,视,于是被积函数具有形式,可用换元 积分法,因,本例可不设出中间变量 ,按如下格式书写:,一、第一换元积分法,例3,求,解,ESC,因,且,若视,则,可用换元 积分法,一、第一换元积分法,例4,求,解,ESC,若视,则,可用换元 积分法,注意到 是线性函数,是线性函数 的函数,即,一、第一换元积分法,例5,解,ESC,于是,用降幂公式,求,并注意到,由不定积分 的运算性质,由换元 积分法,一、第一换元积分法,例6,解,ESC,求 ,一、第一换元积分法,ESC,解,求 ,例7,一、第一换元积分法,ESC,用类似的方法还可以求得,一、第一换元积分法,ESC,例8 求 ,解 由于 ，所以,一、第一换元积分法,ESC,例9 求,解,一、第一换元积分法,ESC,例10 求 ,解 因为 ，而 ,所以,一、第一换元积分法,ESC,一、第一换元积分法,ESC,例11 求,解,一、第一换元积分法,ESC,解,例12 求,一、第一换元积分法,ESC,例13,解法一,解法二,一、第一换元积分法,ESC,例14 求 ,解 因为 ，所以,一、第一换元积分法,ESC,一、第一换元积分法,ESC,例15 求 ,解,(利用例14的结果),一、第一换元积分法,ESC,一、第一换元积分法,ESC,一、第一换元积分法,案例2,计算定积分,注意到,本案例是求定积分.在用牛顿莱布尼茨公式之前,需先求出被积函数的一个原函数.,有,于是,由牛顿莱 布尼茨公式,ESC,一、第一换元积分法,案例2,计算定积分,本案例一般按下 面的方式书写,由牛顿莱 布尼茨公式,ESC,一、第一换元积分法,例16,计算定积分,由于,解,故,由牛顿莱 布尼茨公式,ESC,练习：求下列不定积分 1. 2. 3. 4. 5. 6.,一、第一换元积分法,ESC,二、第二换元积分法,第二换元 积分法,如果不定积分 不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量 ，并选择代换 ，其中 可导，且 连续，将不定积分 化为,ESC,二、第二换元积分法,ESC,二、第二换元积分法,这类求不定积分的方法，称为第二类换元法,例17 求,解 设 ，则 ， ,ESC,二、第二换元积分法,应注意，在最后的结果中必须代入 ，返回到原积分变量 ,ESC,二、第二换元积分法,计算 定积分,案例3,本案例是求定积分.在用牛顿莱布尼茨公式之前,需先求出被积函数的一个原函数.,令,得,则,为去掉被积函 数中的根式,当 时,当 时,于是,例18,解,ESC,二、第二换元积分法,计算定积分,令,得,则,当 时,当 时,于是,出新元, 换新限; 新元不出现, 上下限不变.,例19,解,ESC,二、第二换元积分法,计算 定积分,当 时,在4.1例2中,我们已由定 积分的几何意义得到该定积 分的结果,令,得,当 时,由偶函数在对称区 间上定积分的结论,这里用换元积分法计算该定积分.,解,ESC,二、第二换元积分法,令,当 时,因,例20,计算 定积分,得,当 时,例19、例20的被积函数中均含有根式,都是通过变量换元使被积函数有理化,从而求得积分结果.按被积函数所含根式的形式可归纳为如下一般情况,ESC,二、第二换元积分法,被积函数含有根式( ):,ESC,二、第二换元积分法,被积函数含有根式( ):,“出新元 , 换新限 !” “新元不出现 , 上下限不变.”,ESC,内容小结,一、应用第一类换元法的常见的积分类型如下：,ESC,内容小结,ESC,内容小结,ESC,内容小结,二、本节一些例题的结果，可以当做公式使用将这些常用的积分公式列举如下：,(1) .,(2) .,(3) ,ESC,内容小结,(4) (5) ,(6) ,ESC,内容小结,(7) ,(8) ,ESC,内容小结,三、第二换元积分法,第一类换元法解决的问题,易求,难求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求,ESC,内容小结,第二类换元