浙江省宁波市镇海中学跨区招生数学试卷.doc

全真优教初中数学浙江省宁波市镇海中学跨区招生数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）1（4分）（2013镇海区校级自主招生）把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）（1）F，R，P，J，L，G，（）（2）H，I，O，（）（3）N，S，（）（4）B，C，K，E，（）（5）V，A，T，Y，W，U，（）AQ，X，Z，M，DBD，M，Q，Z，XCZ，X，M，D，QDQ，X，Z，D，M2（4分）（2013镇海区校级自主招生）若，则式子+等于（）A4x+3B5C2x+3D4x+33（4分）（2013镇海区校级自主招生）若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x=1，则a+b=（）ABCD4（4分）（2013镇海区校级自主招生）若，则m20072=（）A2007B2008C20082D200825（4分）（2014余姚市校级自主招生）方程6xy+4x9y7=0的整数解的个数为（）A1B2C3D46（4分）（2013镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点A（2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（）A1个B2个C4个D6个7（4分）（2013镇海区校级自主招生）一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m、n，得到一个点P（m，n），则点P既在直线y=x+6上，又在双曲线上的概率为（）ABCD8（4分）（2013镇海区校级自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：b0，c0，b24ac0，a+b+c0，4a+2b+c0其中正确的有（）A2个B3个C4个D5个9（4分）（2013镇海区校级自主招生）如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）ABCD10（4分）（2013镇海区校级自主招生）二次函数y=x2+6x7，当x取值为txt+2时，y最大值=（t3）2+2，则t的取值范围是（）At=0B0t3Ct3D以上都不对二、填空题（每题6分，共30分）11（6分）（2013镇海区校级自主招生）已知关于x的不等式mx2O的负整数解只有1，2，则m的取值范围是12（6分）（2013镇海区校级自主招生）用三种边长相等的正多边形地转铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为13（6分）（2013镇海区校级自主招生）如图，OAP、ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y=（x0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为14（6分）（2013镇海区校级自主招生）若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为15（6分）（2013镇海区校级自主招生）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走个小正方体三、解答题（共50分）16（6分）（2013镇海区校级自主招生）如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA=5：3，CE=15，把BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长17（8分）（2013镇海区校级自主招生）如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BMAC于M，求证：AM=DC+CM18（13分）（2013镇海区校级自主招生）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米（1）如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？（2）如图2，若在一个坡度为1：5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？19（13分）（2013镇海区校级自主招生）如图，直线AD对应的函数关系式为y=x1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，3），（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由20（10分）（2013镇海区校级自主招生）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）2013年浙江省宁波市镇海中学跨区招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分）1（4分）（2013镇海区校级自主招生）把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）（1）F，R，P，J，L，G，（）（2）H，I，O，（）（3）N，S，（）（4）B，C，K，E，（）（5）V，A，T，Y，W，U，（）AQ，X，Z，M，DBD，M，Q，Z，XCZ，X，M，D，QDQ，X，Z，D，M【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M故选D2（4分）（2013镇海区校级自主招生）若，则式子+等于（）A4x+3B5C2x+3D4x+3【解答】解：，x10，x30，2x+10，+=|x1|+|x3|+|2x+1|=1x+3x+2x+1=5故选B3（4分）（2013镇海区校级自主招生）若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x=1，则a+b=（）ABCD【解答】解：把x=1代入得：=1，去分母得：4k+2a1+kb6=0，即（b+4）k=72a，不论k取什么实数，关于x的方程=1的根总是x=1，解得：a=，b=4，a+b=，故选C4（4分）（2013镇海区校级自主招生）若，则m20072=（）A2007B2008C20082D20082【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：m20080，解得：m2008，则|2007m|=m2007，原式=m2007+=m，=2007，m2008=20072，m20072=2008，故选：B5（4分）（2014余姚市校级自主招生）方程6xy+4x9y7=0的整数解的个数为（）A1B2C3D4【解答】解：6xy+4x9y7=3y（2x3）+2（2x3）1，=（2x3）（3y+2）1=0，所以（2x3）（3y+2）=1，因为方程6xy+4x9y7=0的整数解，所以2x3和3y+2也为整数，所以2x3=3y+2=1 或者2x3=3y+2=1，x1=2，y1=（不合题意舍去）x2=1，y2=1所以，方程6xy+4x9y7=0的整数解为x=1，y=1；则方程6xy+4x9y7=0的整数解的个数为1组，故选：A6（4分）（2013镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点A（2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（）A1个B2个C4个D6个【解答】解：A，B的纵坐标相等，ABx轴，AB=3（2）=5C是坐标轴上的一点，过点A向x轴引垂线，可得一点，过点B向x轴引垂线，可得一点，以AB为直径作圆可与坐标轴交于4点根据直径所对的圆周角是90，满足条件的点共有4个，为C，D，E，H加上A、B共6个故选D7（4分）（2013镇海区校级自主招生）一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m、n，得到一个点P（m，n），则点P既在直线y=x+6上，又在双曲线上的概率为（）ABCD【解答】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）共36种等可能的结果，点P既在直线y=x+6上，又在双曲线上的有：（2，4），（4，2），点P既在直线y=x+6上，又在双曲线上的概率为：=故选C8（4分）（2013镇海区校级自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：b0，c0，b24ac0，a+b+c0，4a+2b+c0其中正确的有（）A2个B3个C4个D5个【解答】解：抛物线开口向下，a0；又抛物线的对称轴在y轴的右侧，x=0，b0，所以正确；抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，所以正确；抛物线与x轴有两个交点，0，即b24ac0，所以正确；当x=1时，y0，即a+b+c0，所以正确；对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）与（2，0）之间，当x=2时，y0，即4a+2b+c0，所以不正确故选C9（4分）（2013镇海区校级自主招生）如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）ABCD【解答】解：根据图形和题意可得：（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，则方程是（1+b）2=b（1+2b）解得：b=所以正方形的面积为（1+）2=，故选：D10（4分）（2013镇海区校级自主招生）二次函数y=x2+6x7，当x取值为txt+2时，y最大值=（t3）2+2，则t的取值范围是（）At=0B0t3Ct3D以上都不对【解答】解：y=x2+6x7=（x3）2+2，当t3t+2时，即1t3时，函数为增函数，ymax=f（3）=2，与ymax=（t3）2+2矛盾当3t+2时，即t1时，ymax=f（t+2）=（t1）2+2，与ymax=（t3）2+2矛盾当3t，即t3时，ymax=f（t）=（t3）2+2与题设相等，故t的取值范围t3，故选C二、填空题（每题6分，共30分）11（6分）（2013镇海区校级自主招生）已知关于x的不等式mx2O的负整数解只有1，2，则m的取值范围是【解答】解：解不等式mx20移项得：mx2只有不等号方向改变，不等式才可能只有两个负整数解1，2所以m0则不等式的解集是：x根据题意得：32，且m0解得：1m12（6分）（2013镇海区校级自主招生）用三种边长相等的正多边形地转铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为：+=360，两边都除以180得：1+1+1=2，两边都除以2得，+=故答案为：+=13（6分）（2013镇海区校级自主招生）如图，OAP、ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y=（x0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为（1+，0）【解答】解：OAP是等腰直角三角形，直线OP：y=x，联立y=（x0）可得P（2，2）；A（2，0），由于直线OPAQ，可设直线AQ：y=x+h，则有：2+h=0，h=2；直线AQ：y=x2；联立y=（x0）可得Q（1+，1），即B（1+，0）故答案为：（1+，0）14（6分）（2013镇海区校级自主招生）若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为【解答】解：由题意得：，方程组可变形为：对符合条件的a1，b1，a2，b2都成立故答案为：15（6分）（2013镇海区校级自主招生）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走27个小正方体【解答】解：第1列最多可以搬走9个小正方体；第2列最多可以搬走8个小正方体；第3列最多可以搬走3个小正方体；第4列最多可以搬走5个小正方体；第5列最多可以搬走2个小正方体9+8+3+5+2=27个故最多可以搬走27个小正方体故答案为：27三、解答题（共50分）16（6分）（2013镇海区校级自主招生）如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA=5：3，CE=15，把BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长【解答】解：四边形ABCD是矩形A=B=D=90，BC=AD，AB=CD，AFE+AEF=90（2分）F在AD上，EFC=90，AFE+DFC=90，AEF=DFC，AEFDFC，（3分）（4分）BE：EA=5：3设BE=5k，AE=3kAB=DC=8k，由勾股定理得：AF=4k，DF=6kBC=AD=10k（5分）在EBC中，根据勾股定理得BE2+BC2=EC2CE=15，BE=5k，BC=10kk=3（6分）AB=8k=24，BC=10k=30（7分）17（8分）（2013镇海区校级自主招生）如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BMAC于M，求证：AM=DC+CM【解答】证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，BMAC，BE=BC，BEC=BCE，AB=BD，=，ADB=BAD，而ADB=BCE，BCE=BAD，又BCD+BAD=180，BEA+BCE=180，BEA=BCD，BAE=BDC，ABEDBC，AE=CD，AM=AE+EM=DC+CM18（13分）（2013镇海区校级自主招生）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米（1）如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？（2）如图2，若在一个坡度为1：5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？【解答】解：（1）y=402=16，16+6=22米；固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度（2）如图，以点A为原点，建立坐标系，斜坡的坡度为1：5，CD=50m，CE=10m，点B的坐标为（50，10），设抛物线的解析式为y=x2+bx，10=2500+50b，解得，b=，抛物线的解析式为y=x2x=（x15）22.25，设抛物线的顶点为M，则M（15，2.25），作MFCD，交DE于点G，交CD于点F，MF=202.25=17.75m，又DF=15m，FG=DF=3m，MG=MFFG=17.753=14.75m；即下垂的电缆与地面的最近距离为14.75m19（13分）（2013镇海区校级自主招生）如图，直线AD对应的函数关系式为y=x1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，3），（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）令y=0，则x1=0，解得x=1，所以，点A的坐标为（1，0），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，B（3，0），C（0，3）在抛物线上，解得，所以，抛物线解析式为y=x22x3；（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，设点P（x，x1），则点E的坐标为（x，x22x3），PE=（x1）（x22x3），=x1x2+2x+3，=x2+x+2，=（x）2+，联立，解得，所以，点D的坐标为（2，3），P是线段AD上的一个动点，1x2，当x=时，PE有最大值，最大值为；（3）y=x22x3=（x1）24，点F的坐标为（1，4），点G的横坐标为1，y=11=2，点G的坐标为（1，2），GF=2（4）=2+4=2，四边形GFEP为平行四边形，PE=GF，x2+x+2=2，解得x1=0，x2=1（舍去），此时，y=1，点P的坐标为（0，1），故，存在点P（0，1），使得四边形GFEP为平行四边形；（4）存在理由如下：当点H在x轴下方时，点Q在x轴上，HDAQ，点H的纵坐标与点D相同，是3，此时，x22x3=3，整理得，x22x=0，解得x1=0，x2=2（舍去），HD=20=2，点A的坐标为（1，0），12=3，1+2=1，点Q的坐标为（3，0）或（1，0）；当点H在x轴上方时，根据平行四边形的对称性，点H到AQ的距离等于点D到AQ的距离，点D的纵坐标为3，点H的纵坐标