高等数学(微积分)课件--84多元复合微分法隐函数微分法.ppt

1,8.4复合微分法/隐函数微分法,一、多元复合函数微分法 二、隐函数微分法,2,只依赖于一个自变量的二元复合函数函数的求导法,定理：如果函数u=(t)及v=(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有可微,则复合函数z=f(t), (t)在对应点t可导，且其导数可表示为：,3,只依赖于一个自变量的二元复合函数函数的求导法（续）,定理：如果函数u=(t)及v=(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有可微,则复合函数z=f(t), (t)在对应点t可导，且其导数可表示为：,证：由题设知z=f(u,v)可微,即有,4,注解,1):示意图：,2）特别：u=t,5,例题与讲解,分析：1）,6,例题与讲解,7,全导数,上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如：,以上公式中的导数 称为全导数.,上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,8,中间变量为多元函数的求导法,定理：如果函数u=(x,y)及v=(x,y)都在点(x,y)处偏导数都存在,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)可微,则复合函数z=f(x,y), (x,y)在对应点(x,y)偏导数也都存在，且其偏导数为：,链式法则如图示：,9,定理注解,1：z是x,y的二元函数，故是偏导数，而不是导数,10,*一般多元复合函数求导法示意,11,例题与讲解,例：设z=eusinv,而u=xy、v=x+y,求,解：,12,例题与讲解,例：设z=uv +sint,u=et、v=cost,求全导数,解：,13,例题与讲解,例：设u=f(x+y+z,xyz),f具有二阶连续偏导,解：,14,课堂练习,15,课堂练习 答案,1：0 2：0,16,全微分形式不变性,设函数z=f(x,y)可微,当x,y为自变量时,有全微分公式,当x=x(s,t),y=y(s,t)为可微函,数时,对复合函数z=f(x(s,t),y(s,t),仍有全微分：,全微分形式不变形的实质 无论z是自变量x、y的函数或中间变量x、y的函数,它的全微分形式可以用相同形式表示。,17,全微分形式不变性的证明,即证明了x、y为中间变量时,全微分也可如此表示。,18,练习,19,练习解答,20,练习解答,21,练习解答,22,练习解答,23,隐函数微分法,设方程F(x,y)=0确定一个隐函数y=f(x),且F(x,y)存在连续的偏导,则当,时,隐函数导数为,类似地,设方程F(x,y,z)=0确定一隐函数y=f(x,y),若F(x,y,z)存在连续的偏导,且,则有偏导,隐函数求偏导的原理是,将隐函数看作中间变量,应用复合求导法,对表示隐函数的方程两边关于自变量求偏导。,24,例题与讲解,讲解练习的第1题（两种方法）,25,例题与讲解,设函数z=f(x,y)由方程sinz=xyz确定,26,例题与讲解,例：x2+y2+z2-4z=0,求,解：,令,则,27,例题与讲解*,例：设z=f(x+y+z,xyz),求z/x, x/y, y/z。,思路：把z看作x,y的函数求z/x;,把x看作y,z的函数求x/y;,把y看作x,z的函数求y/z。,解：,把z看作x,y的函数,方程两边对x求偏导,整理得,类似有,28,练习,29,练习解答,30,练习解答,31,练习解答,32,练习解答,33,8.5高阶偏导数,一、高阶偏导数 二、二元函数的泰勒公式*,34,二阶偏导数,函数z=f(x,y)的二阶偏导数为：,纯偏导,混合偏导,定义：二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。,35,例题与讲解,例：,解：,36,例题与讲解,例：,解：,37,混合偏导数相等的条件,问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 定理：,一般,初等函数都能满足上述条件。,38,二元函