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8 一般周期函数的 傅里叶级数,定理 设周期2l 的函数 f(x)满足收敛定理的条件，则可 展开成如下形式的傅里叶级数：,其中,n 0 , 1 , 2 , ,n 1 , 2 , 。,证 作变量代换,则F(z)以2 为周期且满足收敛,定理的条件，可展成傅里叶级数：,显然 l x l z ；,一、周期2l 的函数的傅里叶级数,注意到F(z 0) f(x 0)，得,其中系数,(1)周期2l 的奇函数f(x)的傅里叶级数是正弦级数,说明,n 1 , 2 , 。,(2)周期2l 的偶函数f(x)的傅里叶级数是余弦级数,n 0 , 1 , 2 , 。,解 f(x)满足收敛定理的条件，l 2。,例1(P252) 设 f(x)周期为4，它在2, 2)上的表达式为,k 0, 将它展成傅里叶级数。,n 1 , 2 , 。,(3) 定义在l , l 或0, l 上的函数也可展成傅里叶级数， 只需类似地进行周期延拓或奇、偶延拓。,例2 设以4为周期的奇函数 f(x) 满足收敛定理的条件，,试写出其傅里叶级数的形式表达式。,解 这里 2l 4，l 2， f(x)是奇函数，傅里叶级数为,说明：题中 f(x)即使不满足收敛定理的条件，只要它在0 , 2上可积，也可形式地写出它的傅里叶级数,但此级数不一定收敛于f(x)。,例3,解 实际上是求 f(x) x 在0, 1上的余弦级数的系数。,0 x 1。,解 作变量代换 z x 10，则 5 x 15 5 z5 ，,例4 将函数 f(x) 10 x (5 x15)展开成傅氏级数。,n 1, 2 , 。,5 z5。,f(x) z F(z)，F(z)是奇函数。补充定义F(5) 5， 再将F(z)作周期 T 10的周期延拓，显然延拓后的函数满足收敛定理的条件，且在(5 , 5 )内收敛于F(z)。,说明：为了通过变量代换 x At B 把定义在a, b上的 函数 f(x)变为 , 上的函数 F(t) f(At B)，应使,利用欧拉公式，可将周期2l 的函数 f(x)的傅里叶级数,表示为复数形式。,二、傅里叶级数的复数形式,其中,n 1 , 2 , ；,n 1 , 2 , 。,统一起来：,n 0 , 1 , 2 , 。,其中,小结,(1)周期2l 的函数f(x)的傅里叶级数：,n 0 , 1 , 2 , 。,其中,(2)周期2 的函数f(x)的傅里叶级数：,n 0 , 1 , 2 , 。,(3)这里的傅里叶级数称为复数形式或指数形式，以前 的称为实数形式或三角形式，二者是同一事物的不同 表现形式，复数形式表示的也是实函数
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