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第七节 周期为2L的周期函数的傅立叶级数,定理:设周期为2L的周期函数f(x)满足收敛定理的条件,则,它的傅立叶级数展开式为:,当f(x)为奇函数时:,其中系数bn为:,当f(x)为偶函数时:,其中系数an为:,例1 设f(x)是周期为4的周期函数,它在-2,2)上表达式为:,(常数k0),把f(x)展开成傅立叶级数.,解: 此时L=2,其图形如下,一 定义在区间-L,L上函数的傅里叶级数展开,把函数f(x)展开为傅里叶级数的步骤是:,1.确定函数f(x)的周期2L,以及它在-L,L上的奇偶性,或者根据题意确定对0,L上函数f(x)进行奇延拓还是,偶延拓.,2.选定相应公式准确计算f(x)的傅里叶系数an,n=0,1,2,.,与bn,n=1,2,并写出相应的傅里叶级数.,3.根据狄里克雷定理写出所得到的傅里叶级数的和函,数S(x).,给定函数的傅里叶级数展开应注意如下几点:,(1)准确确定函数f(x)的周期,与判断它的奇偶性,对于傅里叶级数的计算是很重要的.,由定积分性质可知,若f(x)在-L,L上是奇函数,或偶函数,则计算傅里叶系数就简单些.它只是正,弦级数,或者是余弦级数.,如果函数f(x)在-L,L上没有奇,偶性特性,则可经过,(2)准确掌握函数f(x)的傅里叶系数和傅里叶级数的,坐标变换由函数f(x)构造一个奇函数或偶函数F(x),然后把F(x)展开为正弦级数或余弦级数,再经过逆,变换得到原来函数f(x)的傅里叶级数.,公式,设函数f(x)在-L,L上可积,则f(x)的傅里叶系数,以这些系数组成的函数f(x)的傅里叶级数为,对于以2L为周期的函数g(x),由定积分的周期性性,常常把以2L为周期的周期函数f(x)的傅里叶系数,质可知,不论a是什么值,都有,中积分化为从0到2L的积分.这样使积分简单.,(3)不要把函数f(x)的傅里叶级数的和函数S(x)与f(x),x为f(x)的连续点,x为f(x)的第一类间断点,x为区间的边界点,本身相混同.,当函数f(x)在区间-L,L上满足狄里克雷定理条件,时,它的傅里叶级数必定收敛,且其和函数S(x),因为傅里叶级数通项的周期性,所以傅里叶级数必,能以2L为周期延拓到-L,L之外,使其对任何实数x,都收敛,因此它的和函数S(x)也是定义在实数轴上,以2L为周期的函数,即S(x+2L)=S(x).如果f(x)是定,义在-L,L上,则-L,L之外的f(x)的傅里叶级数的,和函数S(x)与函数f(x)无关.,(4)利用给定函数f(x)的傅里叶级数展开式可以求某些数项,例,级数的和值.在某个傅里叶级数等于其和函数的等式中,令,变量x取某个特定值,即得到所求数项级数的和值,在求傅里叶系数an,bn时,发现在n=1时没有意义,故要,再单独计算.,二 定义在区间0,L上函数的傅里叶级数展开,定义在区间0,L上函数f(x)的傅里叶级数展开,通常有以,下几种情况:,(1)把f(x)在0,L上展开成正弦级数. 这时,要把f(x),x0,L,奇延拓到-L,0上,在-L,L上构造一个奇函,数F(x),把该奇函数F(x)在-L,L上展开为傅里叶级数,然后限制在0,L上. 即为所求的正弦级数.,(2)把f(x)在0,L上展开成余弦级数. 这时,应把f(x),x0,L,奇延拓到-L,0上,在-L,L上构造一个偶函数,F(x), 在-L,L上展开为傅里叶级数,然后限制在0,L上.,即为所求的余弦级数.,(3)把f(x)在(0,L)内展开为以周期为2L的傅里叶级数.,这时,在区间-L,L上构造一函数F(x),使它在0,L上,F(x)=f(x),在-L,0)上可以定义F(x)为任意函数,特别定义,F(x)=0,即,当然,也可定义,把扩充后的函数F(x)在-L,L上展开为傅里叶级数,然后,限制在(0,L)上即为所求的傅里叶级数,往往它既含有正,弦项,又含有余弦项.,(4)把f(x)在0,L上展开为以L为周期的傅里叶级数.,它与前三项工作不同的是:前面的函数展开工作是以2L,为周期; 这里以L为周期,且所得到的傅里叶级数既含有,正弦项,又含有余弦项. 本项工作只要注意到f(x)的以L,为周期的周期性,便得到相应的傅里叶系数公式为,例2 把图所示的函数展开成正弦级数,y(x)是定义在0,L上的函数,要把它展开成 正弦级数,必须对y(x)进行奇延拓,我们计算延 拓后的函数的傅立叶系数,解:,例3 设f(x)=x2 (0x), 把f(x)在0,上分别,先把f(x)作奇延拓,则,展开成正弦级数和余弦级数,其次把f(x)作偶延拓,上面把f(x)=x2在0,上展开成正弦级数或余弦级 数,是把f(x)作奇延拓或偶延拓,所以得到的正弦级数 或余弦级数都是以2为周期的傅里叶级数.如果要 把f(x)=x2在0,)上展开成以为周期的傅里叶级 数,解法就不同,这时傅里叶系数为,由本例可见,对于同一个函数,可根据需要 采用不同的方式展开为相应形式的傅里 叶级数.尽管上述的形式不同,但在(0,) 上都表示同一个函数f(x)=x2,下面我们利用函数的傅里叶级数展开式,求收 敛常数项级数的和 利用函数的傅里叶级数展开式也是求收敛 常数项级数的和的方法之一.这里的关键