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文档简介

,5 对坐标的曲面积分,一、基本概念,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,典型单侧曲面: 莫比乌斯带,播放,曲面法向量的指向决定曲面的侧，一側为正，一,侧为负。选定了侧的曲面称为有向曲面。,面S , S 在xOy面上的投影(S)xy为,注：1. 求投影时，要求S上各点的法向量,与z轴的夹角均为锐角或均为钝角。,2. 当S为平面块时, 它在xOy面的投影为,SS cos,3. 可同样定义S 在yOz面上的投影(S)yz与S 在zOx面上的投影(S)zx,1. 分割 把曲面 分成 n小块Si (Si同时也代表 第 i 小块曲面的面积)。,法向量为 ni ，,在Si上任取一点(i , i , i ) ,2. 近似,3. 求和,通过 流向指定侧的流量,4.取极限 0取极限得到流量的精确值。,二、对坐标的曲面积分的定义及性质,定义 设 为光滑的有向曲面, 函数R(x, y, z)在 上,有界。把 任意分成 n 块小曲面Si(Si同时又表示第 i 块小曲面的面积),Si在xOy面上的投影记为(Si)xy ,任取(i , i , i)Si 。如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时，极限,被积函数,积分曲面,可类似定义,，即,存在条件:,习惯上记:,性质:,三、计算法,设积分曲面 是由方程z=z(x , y)所给出的曲面上侧, 在xOy面上的投影区域为Dxy ,函数z=z(x , y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,被积函数R(x, y, z)在上连续.,说明：1. 对坐标的曲面积分必须注意曲面所取的侧。,2. 上述结论只有当积分曲面上每点的法向量 n 与,z(x、y)轴的夹角均为锐角或均为鈍角时才成立。,3. 若 在xOy面的投影为曲线，则,若 在yOz面或zOx面的投影为曲线，有类似的结论。,解,四、两类曲面积分之间的联系,结论：,的方向角。,向量形式,解,原式,= 8 。,例3 计算,解,其中 是球面x2+y2+z2=R2的外側。,解法2 由对称性，,习题(P167)：3，4,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单
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