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第十节,一、最值定理,二、介值定理,*三、一致连续性,闭区间上连续函数的性质,第一章,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点 ,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,二、介值定理,由定理 1 可知有,证: 设,上有界 .,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,( 证明略 ),推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3. ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证: 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,推论: 在闭区间上的连续函数,使,至少有,必取得介于最小值与,最大值之间的任何值 .,例. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,例,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,思考与练习,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,证明至少存在,使,提示: 令,则,
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