高等数学BBD2习题课.ppt

1,习题课,一、 导数和微分的概念及应用,二、 导数和微分的求法,一元函数微分学,第二章,四、 导数应用,三、 微分中值定理及其应用,2,一、导数和微分,导数和微分是微分学的两个重要的概念，,导数反映了当自变量变化时函数变化的快慢程度；,而微分是函数增量的线性主部。,这两个是不同的概念，但它们之间有着密切的联系。,3,(一) 导数的概念及应用,1、导数的定义 :,当,时,为右导数,特别,导函数,时,为左导数,当,4,3、 函数连续与可导性的关系,4、导数的几何意义,在几何上表示曲线 y = f ( x ) 在点,切线方程,法线方程,可导,连续,即:连续是可导的必要条件。,切线的斜率，即,5、高阶导数的定义,形式上和一阶导数类似，如,5,(二)初等函数的导数,1、函数的和、差、积、商求导法则,若,可导，则,熟悉导数及微分的计算是本章的基本要求之一，,除了掌握基本初等函数的求导公式、,求导四则运算,法则、反函数、复合函数的求导法则外，,对一些特殊,函数的求导方法，,如：隐函数求导法则；参数方程所确,定的函数的求导方法，及对数求导法也应熟悉。,6,或,1、在具体求导时必须注意分析函数复合过程与,2、复合函数求导法,亦可导，,中间变量。计算时，应由外层逐一向内层计算。,注：,2、在需要时，可能要引入中间变量，,求完导数后，,最后的结果不应该保留中间变量。,7,4、基本初等函数的导数公式（如书P97）,3、反函数求导法,设,是单调连续函数，在点 y 处可导，且,则其反函数 y = f ( x )在对应点 x 处也可导，,且有,8,5、高阶导数常用公式,9,若,对参变量 t 可导，则 y 对 x 的导数：,(三)由参数方程确定的函数的导数,10,（四) 隐函数的导数,（逐项求导）,求隐函数的二阶导数的两种方法,1、求出,对 x 再求一次导数，,应注意：,的表达式中,即 y 是 x 的函数。,2、方程两边对 x 连续求两次导数，,然后解出,11,称为幂指函数，,（不是指数函数或幂函数）,其求导方法,1、用对数求导法，,两边取对数，得：,两边对 x 求导得：,2、将其化为,利用复合函数的求导法则求出,（五）幂指函数的导数和对数求导法,12,（六）利用导数定义解决的问题,4、用导数定义求极限,2、 求分段函数在分界点处的导数（左、右导数存在,并相等），及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3、 由导数定义证明一些命题.,1、 推出三个最基本的导数公式及求导法则,其他求导公式都可由它们及求导法则推出;,13,1、利用导数的定义求极限,存在,求,解:,例1 求极限,14,1、利用导数的定义求极限,3. 求极限,15,例2.设,在,处连续,且,求,解: 由题意可得,16,设,解:,又,例3.,处的连续性及可导性.,17,设函数,且,求,提示：,例4,无穷小量,有界函数,18,例5 确定常数,使函数,在,处连续可导。,解,于是由连续的充要条件得,19,又,20,已知,求,解：,例6,21,解,例7,22,2、复合函数求导,例8： 已知,求,解：,23,3、隐函数求导,例9 设函数,所确定，求,解：,方程两边同时对 x 求导得,将 x=0 代入原方程，得,代入 (*) 有,（*）两边对x 求导,将,代入上式得,24,设函数,求,提示：,利用对数求导法，两边同时取对数,例10,两边同时对x 求导,25,所确定的函数 ,求,是方程,解题思路：原方程为,两边同时对 x 求导解出,注：,此方程不能两边同时取对数。,例11 设,26,4、参数方程求导,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,例12 设由方程,27,在,求对数螺旋线,线方程。,解：因为,得,例13.,对 求导，,对应点处的切,故所求切线方程为,28,（七） 函数的微分,1、微分的定义,设,在 x 的某领域内有定义，若,（A是与,无关的常数）,则称,的线性主部,是,在 x 处的微分。,记为：,微分的两个特点：,1）,是关于自变量增量,的线性函数。,2）,2、 可导与可微的关系,可导,可微,29,3、 微分的运算法则,设,是可微函数,4、 一阶微分形式的不变性,设 u 是自变量,设 u 是中间变量,即：无论 u是中间变量还是自变量均有,30,例1、已知,其中 f ( x ) 可微，求 d y .,解： 应用一阶微分形式的不变性直接运算：,例2、设函数,是由方程,所确定。求,利用一阶微分形式的不变性，方程两边同时微分：,将 x = 0 代入原方程，得 y 1,解,将 x = 0 y 1 代入上式，整理得,31,例3、设函数,是由方程,所确定。求,解：利用一阶微分形式的不变性，方程两边同时微分：,整理得：,将 x = 0代入原方程，得 y 1,将 x = 0 y 1 代入上式，得,32,例4 已知,求,解,33,例5,试分析,各表示的意义？,34,（八） 微分的应用,1、 求近似值,1） 当,且,2） 当,且,35,导数和微分的求法,1. 正确使用导数及微分公式和法则,2. 熟练掌握求导方法和技巧,(1) 求分段函数的导数,注意讨论界点处左右导数是否存在和相等,(2) 隐函数求导法,对数微分法,(3) 参数方程求导法,极坐标方程求导,(4) 复合函数求导法,(可利用微分形式不变性),(5) 高阶导数的求法,逐次求导归纳 ;,36,罗尔定理,柯西中值定理,二、微分中值定理,1. 微分中值定理及其相互关系,37,2、微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,微分中值定理是揭示函数及其导数之间的内在联系,的公式。,这些公式对于利用某函数导数所具有的性质,去推断函数本身应具有的性质是极为重要的。,微分中值定理也构成微分学基本理论的重要内容。,有关中值定理的证明题和计算题是它的重要组成部分。,微分中值定理的主要应用有：,38,3. 有关中值问题的解题方法,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理 .,必须多次应用,中值定理 .,39,例1：证明,证： 令,原式得证。,40,例2. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,使,上连续, 在,证: 问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0 , 1 上满足罗尔定理条件,故至少,使,即有,存在一点,41,例3,设函数 f (x) 在0, 3 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且,分析: 所给条件可写为,试证必存在,想到找一点 c , 使,证: 因 f (x) 在0, 3上连续,所以在0, 2上连续, 且在,0, 2上有最大值 M 与最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一点,由罗尔定理知, 必存在,42,例4 设,在,内二次可导, 且,证明存在一点,使,证:,设辅助函数,显然,在 0 ,1 上满足罗尔定理条件,故存在一点,使,即有,又,再对,用罗尔中值定理：,使得,43,例5 设函数,在,内可导, 且,证明,在,内有界.,证: 取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证 .,44,例6 设 f ( x ) 在,证明： 必有,使得,证明 设,F(x) 满足拉格朗日中值定理条件，使,上连续，在 内可导，,在 上可导。,证毕。,若求证,提示,用柯西中值定理,45,例7 设 f ( x ) 在 0, 1 上连续，在 ( 0, 1 )内可导，且,证明 如果 f ( x ) 在 0, 1 上不恒等于0，则必有,使得,证明 设,在 0, 1 上可导。,使,在,上,F(x) 满足拉格朗日中值定理，,使得,即,46,求证存在,使,设,可导，且,在,连续，,显然,在 上满足柯西定理条件,证明：,也就是,则至少存在,使得,例8.,设函数,47,例9 证明不等式,证明,原式可变形为,设,在,由拉格朗日定理可知，,上连续，,在,内可导，,至少存在一点,使得,48,即证得,例9 证明不等式,49,三、 导数应用,1. 研究函数的性态:,增减 ,极值 ,凹凸 ,拐点 ,渐近线 ,曲率,2. 解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3. 其他应用 :,求不定式极限 ;,几何应用 ;,证明不等式 ;,研究方程实根等.,50,例1,51,例2. 证明,证: 原式可化为, 则,故,时,单调增加 ,从而,即,令,52,例3. 证明,在,上单调增加.,证:,令,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,故当 x 0 时,从而,在,上单调增.,得,53,例4. 设,且在,上,存在 , 且单调,递减 , 证明对一切,有,证: 设,所以当,令,得,即所证不等式成立 .,54,例5,55,利用极值证明不等式,例6 设,求证对,有,成立,证明：设,令,为极小值也是最小值,时有,即,成立.,56,设,证明：作函数,令,当,得,故在,故得极大值就是最大值，,因此当,例7,求证,57,4、利用函数的凹凸性证明不等式.,设 为正实数，试证,证明：只要证明,作函数,是凹函数,所以对任意,例8,58,例9 设,证明,证明 设,且有,得驻点,唯一。,是凹函数，,又因为,为极小值，唯一极小值，即为最小值，,故,即,59,例10 求曲线,上点 A(1,1) 处的曲率半径。,解 方程两边对 x 求导,方程两边再对 x 求导,60,例11 求函数,的单调、凹凸区间，极值,和拐点。,解 定义域,得驻点,列表可见单调、凹凸区间,极小值为,曲线拐点（0, 0）,61,极小值为,曲线拐点（0, 0）,则 x 1 是垂直渐近线。,且,为斜渐近线。,62,作业,P167 自测题,63,自测题二,解：,解：,1、 求下列函数的导数,64,1、 求下列函数的导数,解：,解：方法一 等式两边取对数得,方程两边求导得,则,65,1、 求下列函数的导数,解：方法二 等式为,方程两边求导得,则,66,1、 求下列函数的导数,解：,67,1、 求下列函数的导数,解：等式两边取对数得,方程两边求导得,则,68,2、 设函数,解：,方程两边对x求导得,则,由方程,所决定，,求,因 x = 0 代入原方程得 y = 0 , 故,直接将,代入上式得,方程两边再对x求导得,将,代入上式得,69,3. 求下列极限,解:,原式,70,3. 求下列极限,解法一:,原式,令,解法二:,原式,71,3. 求下列极限,解法一:,原式,解法二：,原式,72,3. 求下列极限,解法一：,原式,解法二：,原式,73,（5）,74,解法二,（6）,75,求由方程,的微分,解：方程两边同时微分得,整理得得,4、,所确定的函数,则,76,求曲线,解：该曲线为：,5、,在对应,处的切线方程和法线方程。,方程组两边对 t 求导,得,故,所求切线方程为：,所求法线方程为：,即,即,77,6、,求,在,解: 求导得,故,设函数,上的,的最大值和最小值。,比较可知：,为最大值；,为最小值。,在,上,78,7、 求证,证：设,得,综上可知，可知,为最小值，总有,则不等式,成立,79,7、 求证,证法2：设,则无论,为什么值，总有,则不等式,成立,对 f (x) 在 0 与 x 之间应用拉格朗日中值定理，有,式中,在 0 与 x 之间，由于,与 x 同号，,80,8、 确定常数,使函数,在,处连续可导。,解,于是由连续的充要条件得,81,9、求函数,的单调、凹凸区间，极值和,拐点。,解 定义域,列表可见单调、凹凸区间,极小值为,曲线拐点（-1,ln2）（1, ln2）.,极小,拐点,拐点,82,10 应用拉格朗日中值定理证明,证,此函数在,满足拉格朗日定理的条件，则有,而,设,则有,不等式可表示为,83,11、设,证：,当,时,在 a , b 上连续，,在 (a , b) 内二阶可导，,