高等数学课件4-3分部积分法.ppt

,$3分部积分,2,一、基本内容 Basic contents,用换元积分法我们已解决：,问题 questions,$3分部积分,3,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,注：当求 有困难而 比较容易时，可,利用分部积分公式。,$3分部积分,4,例Example 1 求积分,解solution,设u=x,则du=dx,可验算：,问：设,则,越算越复杂,故适当选u、v很重要，否则积不出来。,$3分部积分,5,例 Example 2 求积分,解 Solution,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,令,$3分部积分,6,例Example 3 求积分,解solution 设 u=x dv=cos(3x+1)dx,则 du=dx,$3分部积分,7,例Example 4,解 Solution,（再次使用分部积分法）,例5,（例3）,$3分部积分,8,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),总结,（1）形如,的积分,，可经n次分部积分求得。,（2）形如,可经n次分部积分求得。,为n次多项式。）,$3分部积分,9,例Example 6,解 Solution,u=lnx dv=dx (好象u、v已选好）,v=x,=xlnx-x+c,解 Solution,例 Example 7 求积分,$3分部积分,10,例 Example 8 求积分,解Solution,$3分部积分,11,解Solution,令,例 Example 9 求积分,$3分部积分,12,例 Example 10（补充）,解,移项得：,$3分部积分,13,总结 Summary,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 u .,（3）积分,，可经1次分部积分求得。n为正整数,（4）分部积分的步骤：,1.选u、v,2.代公式,3.算微分,4.算积分,$3分部积分,14,例 Example 11,解,注意循环形式,u=sinx,移项得：,$3分部积分,15,类似可得,一般地有公式：,注：在此例中也可设,$3分部积分,16,例 Example 12（补充）,解 Solution,$3分部积分,17,令,(23),$3分部积分,18,例 Example 13 (P257),解 Solution,移项得：,$3分部积分,19,注1. 选dv的原则：,(1)dv易积分求出v,2.dv造取的次序：,$3分部积分,20,解,两边同时对 求导, 得,$3分部积分,21,例15 (P258),解,递推公式,$3分部积分,22,例 Example 16 (P273,习题四,21),$3分部积分,23,分部积分非标准类型举例：,例17（补充）,解1,（第二换元法的标准类型）,令x=atant,则,再分部,由例13,$3分部积分,24,解2,（分部积分）,（23）,移项得：,$3分部积分,25,例 Example 18（补充）,解1,（第二换元法的标准类型）令x=tant, t,$3分部积分,26,解2,（凑微法）,解3,（分部积分）,注：解2、解3两结果相差一个常数。,$3分部积分,27,硕士研究生入学试题,例19 （98理工数学二）,例 20 （97理工数学二）,$3分部积分,28,例21 （97理工数学二）,例22（99理工数学二）,$3分部积分,29,例23（2000理工数学二）,设,，计算,解 设lnx=t,则,$3分部积分,30,合理选择 ，正确使用分部积分公式,二、小结 Brief summary,$3分部积分,31,分部积分标准类型：,出现循环，成为 含原积分的方程,$3分部积分,32,思考题Consideration question,在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？ | What should you pay attention to when use the formula of Integration by parts continuously ?,$3分部积分,33,思考题解答 Solution to consideration question,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时