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文档简介

无穷是一个永恒的谜 Hilbert,第五节 无穷小和无穷大,（一） 无穷小 （二） 无穷大 （三） 二者关系 （四）无穷小的阶,一、无穷小,定义1：在自变量的某种趋势下，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，简称无穷小.,例如：,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.,（2）无穷小是变量的一种变化趋势;,例如,证,2、无穷小与函数极限的关系:,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中, 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,注意 无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.,二、无穷大,特殊情形：正无穷大，负无穷大,证,证,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大.,是无界变量， 但不是无穷大量,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.,四、无穷小的阶及其比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,比较,定义:,例如，,例4,解,？是不是任意两个无穷小 都可以进行阶的比较,不存在且不为无穷大,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,例5,解,小结,1、主要内容:,定义;定理;推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆， 零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3） 无界变量未必是无穷大.,3、无穷小的比较,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,高(低)阶无穷小; 同阶无穷小； 等价无穷小; 无穷小的阶.
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