闭区间上连续函数的性质.pps

高校理科通识教育平台数学课程,高等数学 ,讲授,孙学峰,一元微积分学,闭区间上连续函数的性质,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。,第三章 函数的极限与连续性,第九节 闭区间上 连续函数的性质,一.最大值和最小值定理,二.介值定理,三. 函数的一致连续性,最大值和最小值定理,设 f (x) C ( a, b ), 则,(i) f (x) 在 a, b 上为以下四种单调函数时,y = f (x) a, b ,y = f (x) a, b ,则,则,(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时,x,y,a,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b,ma,mb,y = f (x),O,(最大值和最小值定理),若 f (x) C ( a, b ) , 则它在该闭区间,上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .,定理,若 f (x)C( a, b ), 则 f (x) 在 a, b 上有界.,看图就知道如何证明了.,推论,f (x) 在 a, b 上可取到它的最大值 M 和, f (x)C ( a, b ),故 m f (x) M , xa, b,| f (x) | M* , xa, b,令 M* = max |m|, | M| , 则,即 f (x) 在 a, b 上有界.,最小值 m ,证,二.介值定理,a,x,y,y = f (x),f (a),b,f (b),O,f (x)C ( a, b ),f (a) f (b) 0,f ( )0.,描述一下这个现象,(根存在定理或零点定理),则至少存在一点 (a, b), 使得 f ( )0.,设 f (x) C ( a, b ), 且 f (a) f (b) 0,如何证明？,定理1,证明的思想方法 区间套法,将区间 a, b 等分为 a, a1 和 a1, b ,在这两个区间中, 选择与 a, b 性质相同的,一个, 例如, 若 f (a1) f (b) 0 , 则选取区间,如此下去, 小区间的长度趋于零, 并且,a1, b, 然后, 对 a1, b 进行等分, 并进行选,择, 又得一个新的小区间.,总保持区间端点处函数值反号的性质, 由函,数的连续性, 这些小区间的左端点或右端点,构成的数列的极限值, 就是要求的 (a, b).,f ( ) = C,下面看看, 坐标平移会产生什么效果.,(介值定理),设 f (x)C ( a, b ), f (a)A, f (b)B,且 A B, 则对于 A, B 之间的任意一个数 C,至少存在一点 (a, b), 使得 f () = C.,定理2,令 (x) = f (x) C,故由根存在定理, 至少存在一点 (a, b) 使,则 (x)C ( a, b ), C 在 A, B 之间, (a) (b) = ( f (a) C )( f (b) C ),= ( A C ) ( B C ) 0,证, ( )= 0, 即 f ( ) = C .,最大、最小值定理,介质定理,？,引入,设 f (x)C ( a, b ),证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得,a x1 x2 xn b,证,由介值定理, 至少存在一点 x1 , xn , 使,证明方程 x5 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间,令 f (x) = x5 3x 1, x1, 2,则 f (x)C( 1, 2 ),又 f (1) = 3, f (2) = 25, f (1) f (2) 0,即 方程在 x =1 与 x =2 之间至少有一根.,故 至少存在一个 (1, 2), 使得 f ( ) = 0,至少有一根.,证,至少有一个不超过 a + b 的正根.,证明方程 x = a sin x + b ( a 0, b 0 ),设 f (x) = x a sin x b , x 0, a + b ,则 f (x)C( 0, a + b ),而 f (0) = 0 a sin 0 b = b 0,f (a + b) = (a + b) a sin (a + b) b,= a ( 1 sin (a + b) ) 0,证,1) 如果 f (a + b)0, 则 = a + b 就是方程的根.,即方程至少有一个不超过 a + b 的正根.,定理, 至少存在一个 ( 0, a + b ), 使得 f ( ) = 0.,2) 如果 f (a + b) 0, 则 f (0) f (a + b) 0, 由根存在,综上所述, 方程在 ( 0, a + b 上至少有