矩阵迹的性质与应用.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文矩阵迹的若干个性质与应用姓名：某某 指导老师：某某摘要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的范数定义Cauchy Schwarz 不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。关键词：迹 矩阵 范数 特征值1 引言矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。2 预备知识定义1 设,则称为 的迹。定义2 设,记与向量范数相容的 的 一范数为:(2) (3) (4) (5) 引理：矩阵迹的性质:1 证明：设则又所以得证2 (为任意常数)证明：设则由（1）与（2）知3 证明：设 则，其中所以有其中，所以有得证4 证明：矩阵取转置运算主对角线上的元素不变，所以等式很显然成立。5 证明：令（3）中即可得证。6 证明：令（3）中即可得证。7 （是的特征值）证明：由若当定理知因为相似矩阵迹相等，所以8 证明：设矩阵的特征值为则矩阵的特征值为则由（7）即可得证9 若,则;特别，（下面定理有证明）10 若，则 有了上面关于矩阵的迹定义及性质的介绍，下面我们通过举例来看其在解题中的应用。3 解题中的应用例1 设为同阶实对称矩阵，若正定，则和不相似。证：假设相似,则由性质9 知, 再由性质1 得故由性质10 知 不是正定阵,与已知矛盾从而, 和不相似。例2 设n阶矩阵的对角线上元素全是1，且其特征值为复数，求证证：设为的全部特征值，且则有 又的主对角线上的元素全是1，知则所以。 例3 已知 阶方阵，若对所有的阶方阵 有 ,则。证： 设，则有某。作矩阵，使,时，。 则矩阵主对角线上的元素 。与已知矛盾故 例4 设，的特征多项式为 ，则。证因为所以。例5 设 , , 都是 矩阵,且 , , ,则存在不大于的自然数 ,使得。证： 先证. (为任意自然数) (1)由(1) 和性质1、3 得：再证 的特证值都等于0。设 的特征值为则存在可逆矩阵 ,使所以从而 （2）不失一般性,设 的互异的非零特征值为,且重数分别为。 则(2)式变为: 取前 个等式,因为范德蒙行列式，因此。即非零特征值都是0 重,故 的特征全为0 。再证。 由于 的每个若当块都形如因此令: ，则例6 满足 的矩阵叫做幂等阵,试证：幂等矩阵的迹与秩相等。证:设 阶阵为幂阵,且的秩,则的特征值是0 或1 ,且具有个线性无关的特证向量,因而, 与对角阵相似。故必有满秩阵 存在，使上式右端的对角阵的秩等于的秩 ,即该矩阵中的对角元素(特征值)有个为1 ，个为0 。故由性质7 知例7 设有阶实对称矩阵 ,若，则有。证：因为 ,所以半正定,故存在阶矩阵u其中是第个行向量，使得于是。又因为 维列向量有于是 由Cauchy - Schwarz不等式知，所以即从而故有例7 设为一个阶矩阵，的主对角线上所有元素的和称为的迹，记作.证明：如果对任意的阶方阵，都有，则证：设，取,则所以. 即例8 证明：不可能有阶方阵满足证：设，为任二阶方阵，则主对角线上的元素为它们的和为同样，的主对角线上元素的和为亦即与的主对角线上元素的和相等，从而的主对角线上元素的和为零.但是，单位方阵的主对角线上元素的和为因此4 下面介绍一些有关矩阵迹的定理定理1 Cauchy-Schwarz公式：设都是n阶矩阵，则有证明：设,则由向量的内积定义式，其中为与的夹角即。推广到矩阵的迹的形式，即为定理2 schur不等式设设是n阶矩阵，则有证明：因为又因为是反对称矩阵，故有定理3 设为阶对称矩阵，则有证明：由Cauchy-Schwarz公式可知 又即得定理4 设都是阶实对称矩阵，则有证明：都是阶实对称矩阵，又由引理2可得又由引理3可得同时有即可得结论。定理5 设阶矩阵的所有特征值都是实数，且，若恰有个特征值，则证明：设的个特征值为。因为，由引理1 知的特征值为不为零，而其余的特征值考察以下平方和其中，显然且由于于是，有定理6 设都是阶实对称矩阵，则有证明：由于都是阶实对称矩阵，且由Schur不等式和引理3，可得定理7 设都是阶实对称矩阵，且正定或半正定，则有证明：由cauchy-schwarz公式，且都是n阶实对称矩阵，使得设的特征值为的特征值为显然的特征值均大于0又由定理4知，对存在n阶正交矩阵使得所以由此得 ，故有即参考文献 1丁学仁. 工程中的矩阵理论M.天津：天津大学出版社,19882党诵诗. 矩阵论及其在测绘中的应用M.北京：测绘出版社,19803陈公宁. 矩阵理论与应用M.北京：高等教育出版社，19904牛华伟，张厚超.关于矩阵迹的性质与应用J.宁波职业技术学院学报，2009年4月5宋占奎.矩阵的迹在解题中的应用J.陕西工学院学报，2001年3月Matrix trace of several properties and applicationAuthor：Cao min Supervisor:Dai linsongAbstract : On the basis of the definition of matrix traces ,this paper discusses their characteristics at first and then according to the norm of the F of square matrix and Cauchy - SchwarzInequality gives how to prove the zero matrix, unsimilar matrix，number cloth matrix , column matrix idempotent matrix and non - equality matrix. The