论“增根”在数学中存在的价值

论“增根”在数学中存在的价值摘要：懂得一些数学常识的人都知道，“根”在数学上，意思是指能使一元方程左右两边的值相等的未知数的取值。也可以这样讲，方程的“根”与“解”在一定程度上可以等同，而数学上还有另外一个概念-增根，那么，究竟什么才是方程的增根呢，直观上想，谈及方程的根，方程有根则可称方程有根，无根则称方程无根，为何偏偏又要引进一个“增根”的概念呢，到底什么才是“增根”，是指新增加的根？还是多余的根？带着问题回归到方程的增根的定义：方程的增根指，在方程变形时，产生的不适合原方程的根。这样来看，似乎“增根”还属于方程根的一种，而既然是不适合原方程，为何又称之为它的根呢？这样的说法与数学的严谨性是否相违背呢？本文将从方程的“解”与“根”的区别入手，分析“增根”的定义，产生根源，追究其实质，来论述其存在的价值性。关键字：分式方程、方程的解、方程的根、真根、增根、错解、常规方法、尝试解法、错误解法、分类讨论、严谨正文：一、方程的“解”与“根”的区别定义：数学上，对方程的解是这样定义的：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；而方程的根是指能使一元方程左右两边相等的未知数的值。从定义上来看，不难发现，所谓方程的解、方程的根都是指使方程左、右两边的值相等的未知数的取值。而方程的根是特指一元方程的解，即对于只含有一个未知数的方程来说，方程的解，也叫方程的根。此时，根和解只是两种不同的称谓。因此，一元方程的解与根是没有区别的。但对于多元方程来说，方程的解就不能说成是方程的根。这时解与根是有区别的。因为数学上，对于多元的方程是不存在根的概念的。由此还可以看出，方程的解与根是包函与被包函的关系，解包函了根，而根包函于解。那么既然根的概念只在一元的方程中才会出现，而一元方程中的根与解又没有区别，为何偏偏要引进一个根的概念呢？那么“根”倒底有着它怎样的独特作用和价值呢？二、方程的“增根”与“真根”的概念定义：解出方程后有几个根的时候，带入方程有意义的根就是方程的真根。如果无意义的就是增根。原来“根”还被分为了“真根”和“增根”两种，真根很容易理解，实际上真根也就是方程的解。那么增根又是什么呢？从定义上看，解出来的几个根，带入方程无意义，那么这个根就是增根。为什么明明是解出的根，而又会使原方程没有意义呢？增根究竟又是如何产生的呢？三、产生“增根”的来源（一）分式方程在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根。对于分式方程，当分式中分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制就被取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。（二） 无理方程在无理方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使偶次根式中的被开方数为负数，那么这个根叫做原分式方程的增根。 与分式方程类似，当偶次根式中的被开方数为负数时，无意义，所以无理方程，不允许末知数取那些使偶次根式中的被开方数为负数的值，即无理方程本身就隐含着偶次根式中的被开方数不能为负数的条件。当把无理方程转化为整式方程以后，这种限制就被取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。总的来看：增根是在方程变形时，产生的不适合原方程的根。我们再来分析增根产生的原因，无论是分式方程，还是无理方程，增根的产生都无疑有人为的因素在里面，都是人为的把方程中未知数的值范围扩大了，从而产生了使方程没有意义的根-方程的增根。四、再谈“增根”与“错解”既然在一元方程中，根也叫做方程的解，那么增根又算做什么呢？是不是可以称“增根”为方程的“错解”呢?以分式方程为例，不妨我们来解一道分式方程：常规解法（A解法）第一步：该分式方程的最简公分母为 第二步：在方程两边同时乘以最简公分母得第三步：整理得：第四步：解得：或第五步：检验：1)把或代入原方程，当时，方程分母为0，没有意义，因此为方程的增根.2) 把代入方程左右两边，左边=，右边=，左边=右边，因此是原方程的根。第六步：因此，原方程的根为.（一）通过“检验”来更正错误的解题逻辑检验，在数学上是指，完成题目以后，重新综合考虑多方面因素，来探究解题中是否出现了错误的过程。但实际上，不检验并不意味着题目一定就是错的。可我们发现，在按常规解法（A解法）解题时，若不检验，则会酿成大错，这是为什么呢？从表面上看来，上述的常规解法（A解法）解题的过程没有什么问题，但最后还是产生了增根，而且一定要通过检验才能发现这个“增根”。数学本是严谨的，究竟是什么使得原本严谨的数学一定要通过检验才能避免错误结论的出现呢，原因何在？我们不禁问：如果数学的解题过程中，允许先出现错误，再通过检验来排除错误，那么这样的数学还能称得上是严谨的么？这样的解题逻辑应该值得提倡么？（二）产生“增根”的根源-解题方法的不严谨对于一个方程，左右两边同时乘以同一个不为0的数，方程仍然有意义，那么任意给出一个方程，在左右两边同时乘以0，就一定会得到新的恒等式0=0，这样就使得方程本身失去了方程的实际意义，而变成了恒等式，也就是在这个过程中，我们人为的使得方程失去了意义，而当这种情况出现之后，人们却把这个使得方程失去意义的末知数的值称为方程的“增根”，因而舍去，可这个做法，是不是有为我们自已开脱“犯错”的嫌疑呢！具体来看，上面解题过程的第二步，在方程的左右两边同时乘以了最简公分母，而这个最简公分母会不会等于0呢？当=0时，在方程两边同时乘以，也就相当于在方程两边同时乘以了0，使得方程失去了意义，换言之，这种做法就是不严谨的，是错误的！也就是说，实际上，增根的产生源于解题方法的不严谨，是解题逻辑出现了问题，难道在分式方程面前，数学就不再严谨了么？（三） 新解法的尝试在上述方程中，当最简公分母=0时，或那么，如果在方程两边同时乘以时，只要先保证0，也就是保证1且-2，是否可以避免增根的出现呢，我们不妨来试一下：解分式方程：尝试解法（B解法）：第一步：该分式方程的最简公分母为 第二步：1）或时，原方程分母为0，没有意义；2）当1且-2时，在方程两边同时乘以最简公分母得第三步：整理得：第四步：解得：或第五步：因为1且-2，所以只取第六步：因此，原方程的根为.我们发现，在尝试解法（B解法）中，我们省去了常规解法（A解法）中的检验过程，而且也没有谈及“增根”问题，从整个方法上来看，与常规解法（A解法）相比，只是多了一个提前的限定，即第二步以后的所有运算，都是在第二步中“当1且-2时”这个大前提下进行的，因此只要与此相违背的，也就是出现了矛盾，如第四步中解出的与第二步中的1相矛盾，因此，直接舍去。从而，末产生矛盾的也就是原方程的解。（四）“增根”的本质就是“错解”既然增根是指在不严谨的解题过程中，出现的不适合原方程的末知数的值，那么，如果在实际解题过程中，由于诸多客观因素，而也同样产生了几个末知数的值，而通过检验发现的，不适合原方程的末知数的值，是不是也可以称之为原方程的“增根”呢？而这个值本身若是通过必然错误的解题方法得出的值，那么，又该如何称呼这个值呢，是不是可以把他叫做“错解”呢？若真的如此，那么“增根”与“错解”又有什么区别呢，如果没有区别，为何不直接称其为“错解”，而非要称其为“增根”呢，难道是出于对“错误”的一种“掩饰”和“解释”？为了进一步说明，我们给出上述问题的如下错误解法（C解法）：解分式方程：错误解法（C解法）第一步：该分式方程的最简公分母为 第二步：在方程两边同时乘以最简公分母，（本应该得到的整式方程是，但因为粗心而出现了两处错误）得第三步：整理得： 即第四步：解得： 或第五步：检验：1)把代入原方程，方程中的分母为0，没有意义，因此，是方程的增根；2)把代入方程左右两边，左边=，右边=，左边=右边，因此，是原方程的根。第六步：因此，原方程的解为.不难看出上题的解题过程是明显错误的，但如果把重点放在第五步检验上面，就不会发现错误，甚至把用明显错误方法解出来的称之为原方程的“增根”，但实际上，只能称是用错误方法解出来的“错解”，但回过头来看，在前面介绍的常规解法（A解法）中，解出的，就是用正确方法解出的么？同样的，常规解法（A解法）中解出的，也是不严谨解法-错误方法的产物。既然都是错误方法的产物，那么，显然可以把二者平等对待，或者称它们都是“增根”，或者称它们都是“错解”，而错误解法（C解法）中产生的，是在明显的错误中产生的，与方程的“根”谈不上任何关系，其实，常规解法（A解法）中解出的，也是在错误的方法中产生的，那么也不应该与方程的“根”产生任何关系，而称之为“增根”，则使人感到牵强，与其称之为“增根”，不如称之为“错解”更合理！总之，通过前面的实验和论述，我们难以找到“增根”与“错解”的区别，既然“增根”就相当于“错解”，而“错解”本身是没有任何价值的，那么，显然“增根”的说法也随之失去了它存在的价值！我们也只能重新来审视“增根”的说法，只能把“增根”称之为用来掩饰和解释错误的工具！五、分类讨论思想有效地遏制了“增根”的产生，使数学更严谨分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。 每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。我们将前面的常规解法（A解法）与尝试解法（B解法）作对比，明显发现，尝试解法（B解法）的整个解题过程都非常的严谨，那么如此看来，增根还有他存在的价值么？不谈增根，也没有对解题产生影响，反而使解题过程更加严谨。实际上，尝试解法（B解法）运用的就是分类讨论的数学思想，第二步中的“当或时”，以及“当1且-2时”，体现的是对末知数的在取值范围的分类讨论。而常规解法（A解法）中，没有考虑到这一点，把两种本不统一研究的对象，放在一起来处理，这样，才使得在解答最后人们必不得已，要以“增根”来进行解释。分类讨论思想可以使数学更严谨，使解题更周密，既然分类讨论能帮助我们消灭因为不严谨的而产生“增根”，为什么不