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第六节 微分法在几何上的应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,复习 目录 上页 下页 返回 结束,三、空间曲线的切线与法平面,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,一、空间曲线的切线与法平面,点击图中任意点动画开始或暂停,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,平面.,1设曲线方程为参数方程：,（1）点 处曲线的切线方程为,（ 对应 ）处切线的方向向量为,点,三个导数,（2）点 处曲线的法平面方程为,称为切向量。,向量,注：,上式分母同除以 得,割线 的方程为,推导：,点 对应参数,点 对应参数,在上式中令 ，得,注,切向量,解,切线为,法平面为,切向量,例1 求,在点,处的切线及法平面方程.,解,于是，切线方程为,所以切向量,。,曲线即为,例2 求曲线,在点,处的切线方程.,切平面的法向量为, 三个偏导数,二、曲面的切平面与法线,设曲面,切平面为:,法线为:,处的切平面,解,令,切平面,法线,则,即,。,例3. 求曲面,在点,及法线方程.,解,设切点为,依题意，切平面平行于已知平面，得,则,令,则,的切平面方程,例4. 求曲面,平行于平面,，所以,故切平面:,即,解 得：,平面,在点,处的切线就是,处切平面的交线,因此曲线,处的切线的方向向量为,三、空间曲线,在点,曲面F(x,y,z)=0及G(x,y,z)=0在点,的切线与法平面.,由于曲线 G 在点,例5. 求曲线,在点(1,1,1)的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 求曲线,在点,处的切线方程.,解: 点 (1,1,-1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,这是前例2的另解,习题P9192,1(2)(3), 3(1), 5, 8.,习题P117:15(提示),上求一点 , 使该点处的法线垂直于,备用题：,1. 在曲面,并写出该法线方程 .,解: 设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,（法线垂直于平面）,（点在曲面上）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推导:,对应参数,任一曲线在该点的切线都垂直,下面先证明：曲面 上过点 的,设曲面上过点 的任一曲线为,点,下证：,切向量,。,上式两边对 t 求导得：,令,所以,则,在曲面上，通过点M的任意一条曲线，,的切线都在同一平面上，,故曲面上过M的任何曲线在M点,这个平面称为,切平面；,过切点与切平面垂直的直线称为,法线,切平面的法向量
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