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,空间曲线的方程：,设上式中的三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,问题：研究 M 点的切线？,割线MM 极限位置切线,上式分母同除以,割线 的方程为,MM 的方向向量是什么？,(1),曲线在M处的切线方程：,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,(1)式分母是什么？,解,切线方程,法平面方程,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊情况分析：,切线方程为,切向量是什么？,切向量为,所求切线方程为,法平面方程为,小结,求空间曲线的切线与法平面关键是求切向量,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,假设：在曲面上任取一条通过点 M 的曲线,二、曲面的切平面与法线,令,则,切平面方程为,讨论：为什么？,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,特殊情况：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,讨论：法向量是什么？,其中,单位法向量,如果法向量向下呢？,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,法向量是什么？,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),讨论：为什么？,小结,求曲面的切平面与法线关键是求曲面的法向量,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,三、全微分的几何意义,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,求空间曲线的切线与法平面关键是求切向量 当空间曲线方程为一般式时，求切向量常常采用推导法,求法向量的方向余弦时注意符号,三、小结,求曲面的切平面与法线关键是求曲面的法向量,全微分的几何意义,思考题,思考题解
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