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第一节 多元函数的基本概念,一、平面点集的基本概念,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,五、小结,二维空间 三维空间 平面点集 邻域 区域 有界集与无界集,一、平面点集的基本概念,下面，仅介绍平面集合的有关概念，它们可推广至空间点集。,平面上一切点的集合称为二维空间，记为R2，即,空间内一切点的集合称为三维空间，记为R3，即,一、平面点集的基本概念,表示平面(二维空间),一、平面点集的基本概念,一、平面点集的基本概念,一、平面点集的基本概念,一、平面点集的基本概念,边界点：,边界点.,例如: 点集 E= (x, y)| 1 x2 + y2 4的边界:,圆 x2 + y2 = 1和 x2 + y2 = 4 .,一、平面点集的基本概念,一、平面点集的基本概念,如果平面集E可以含于某个以原点为圆心的圆内,则称E为有界集;否则称之为无界集.,一、平面点集的基本概念,二、多元函数概念,定义1 设有三个变量x、y、z和平面点集D。 如果对于任意的(x,y)D，变量z按一定规律均有确定的值与之对应，则称变量z是变量x,y的二元函数，记为,注意：1、二元函数定义域为平面点集；2、二元函数的图形一般为曲面。,类似，可定义三元函数：,一般，可定义n元函数：,二元及其以上函数称为多元函数，或n元函数。,一元函数和多元函数可以统一定义为点函数：,二元函数的极限也叫二重极限,【例3】求下列极限：,(1) ;(2) .,解(1)重要极限+极限四则运算法则,(2)有理化+极限四则运算法则+复合函数极限法则,解,1,例如 z = x2 + y2 + 1,y=kx,在平面上的(0,0)点处,.,例如：,z,都有 z 1,有 z 1,有,故：在xoy平面上,点,.,.,确定极限不存在的方法：,取,例6 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,四、二元函数连续性,定义3 如果 ，则称函数,函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。,二元函数的间断点可以形成一条曲线。,多元连续函数的四则运算、复合函数仍为连续函数；多元初等函数在其定义区域内连续。,解,例如，,因此，,注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能在曲线上的所有点处均间断。,类似于闭区间上一元连续函数所具有的性质有界定理，最值定理，介值定理在
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