平面点集的一般概念.ppt

第三节 复平面上的点集,一、 复平面点集的一般概念,二、 区域,三、 平面曲线,一、复平面点集的一般概念,定义1 邻域:,记作:N(z0),N(z0)=z | |z-z0|,记作：N0(z0)=z | 0|z-z0| ,即,定义2 内点、边界点、孤立点,设有点集及一点z0 :, 若存在点z0 的某邻域 N(z0) ,则称 z0为的内点；, 若在z0的任意一个邻域内,都有属于的点,也有不属于的点,则称z0为的边界点,点集的全体边界点组成的集合称为的边界.记为：,即 z0为的孤立点 0: N(z0) =z0, 若z0属于 ，但在z0某邻域内除z0外不含的点，,则称z0为G的孤立点,定义 有界集和无界集,有界！,如果 内每一点都是它的内点,那么 为开集,定义3 开集与闭集,平面上不属于 的点的全体称为的余集；,开集,的余集称为闭集,或开集及其边界的并集称为闭集,二、 区域,定义5 区域,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域,(1) D是一个开集；,(2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,D加上D的边界称为闭域，记为DD+D ,z1 ,z2 ,D,说明,(2) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,(1) 区域都是开的.,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,不包含边界！,(1) 圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 带形域:,答案,(1)有界; (2) (3) (4)无界.,平面曲线C的复数表示:,C的实参数方程,C的复参数方程,起点z(),终点z(),C的正向：起点终点,三、 平面曲线,定义6 连续曲线,例如：,复数形式为,复数形式为,或,例1,求下列方程所表示的曲线:,解,化简后得,没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或Jordan曲线).,重点,重点,重点,换句话说, 简单曲线自身不相交.,定义7 简单曲线,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答 案,简单 闭,简单 不闭,不简单 闭,不简单 不闭,简单闭曲线的性质约当定理,任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成C,I(C),E(C) 三个互不相交的点集.满足：,I(C),E(C),边界,（1）I(C) 是一个有界区域（称为C的内部）.,（2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）.,（3）C是I(C),E(C)的公共边界.,定义8 光滑曲线:,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.,特点,（1）光滑曲线上的各点都有切线,（2）光滑曲线可以求长,定义9 单连通域与多连通域:,复平面上的一个区域D, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多（复）连通域.,单连通域,多连通域,解,无界的单连通域(如图).,例2 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是 无界的,单连通的还是多连通的.,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,表示到1, 1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,例3,满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,是多连通域.