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第一节 不定积分的概念及其 计算法概述,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的性质及简单计算,四、小结,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念, 原函数,关于原函数有以下三个问题：,1) 满足什么条件 , 其原函数一定存在？,原函数存在定理：,若 在区间 I 内连续 , 则在区间 I 内一定存在 的原函数.,简言之：连续函数一定有原函数.,2) 若f(x)有原函数 ,原函数是否唯一？,例,即:,若 f(x) 有原函数 ,则 f(x) 的原函数有无穷多个.,3) f(x)的全体原函数如何表示?,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,关于原函数的两个说明：,若 F(x) 是f(x)的一个原函数 ,则 f(x) 的全体 原函数可表示为F(x) +C. (C为任意常数）, 不定积分的定义：,若 F(x) 是f(x)在区间 I 内的一个原函数 ,则 f(x)在区间 I 内的全体原函数称为f(x)在区间 I 内的不定积分,例1 求,解,解,例2 求, 不定积分的几何意义,不定积分称为积分曲线族 , 且在横坐标相同的每条曲线上的切线斜率相等.,为平面上的 一条曲线.,为平面上的 一族曲线.,设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数,结论：,求不定积分的运算与微分运算是互逆的., 不定积分与微分(导数)的关系,由此根据微分公式可得积分公式.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、 基本积分表,基本积分表 ,是常数);,说明：,简写为,例3 求积分,解,根据积分公式（2）,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、 不定积分的性质及简单计算,例4 求积分,解,根据不定积分的运算性质和基本函数的积分公式,可计算简单函数的不定积分.,例5 求积分,解,例6 求积分,解,例7 求积分,解,例8 求积分,解,例9 求积分,解,例10 求积分,解,例11 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,注意:,1) 导数是唯一的 , 但不定积分不唯一.,2) 任一初等函数都可求导数 , 且导数一般也为初等函数 , 但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示 .,这些不定积分的原函数存在 , 但不能用初等函数来表示 .,基本积分表(1),不定积分的性质
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