《类曲面积分》PPT课件.ppt

1,第五节 第二类曲面积分 -向量值函数在定向曲面上的积分,一、基本概念,二、第二类曲面积分概念的引入,三、定义及性质,四、计算法,五、两类曲面积分之间的联系,2,一、基本概念,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,3,1.曲面的分类:,(1)双侧曲面;,(2)单侧曲面.,典型双侧曲面,4,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的。,5,规定：定向曲面上任一点处的法向量 总是指向曲面取定的一侧.,2. 决定了侧的曲面称为有向曲面。(定向曲面).,注：在定向曲面的范围里，,6,7,即有向曲面方向用法向量指向来表示：,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,侧的规定,8,二、 概念引入,1. 引例： 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量 .,分析: 若 是面积为S 的平面,则流量,单位法向量:,流速为常向量:,9,对一般的有向曲面 ,用“分割、求和、取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得, 则,10,类似可规定,11,三、第二类曲面积分的定义及性质,12,被积函数,积分曲面,类似可定义,13,存在条件:,组合形式:,物理意义:,14,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,15,性质:,表明，当积分曲面改变为相反侧时， 对坐标的曲面积分要变号。,曲面可加性,16,四、计算法（第二类曲面积分-化为二重积分）,17,定理: 设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数, 则,证:, 取上侧,18, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧, 则,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,19,解：,一投,二代,三定号,20,一投,二代,三定号,奇偶对称性？,21,五、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,22,令,向量形式,称为有向曲面元,23,24,例2. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,25,原式,26,直接计算,向yoz面投影,利用奇偶对称性,27,例3. 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,28,定义:,1. 两类曲面积分及其联系,小结,29,性质:,联系:,30,2. 常用计算公式及方法,面积分,第一类 (对面积),第二类 (对坐标),二重积分,(1) 统一积分变量,代入曲面方程 (方程不同时分片积分),(2) 积分元素投影,第一类： 面积投影,第二类： 有向投影,(3) 确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,31,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .,32,思考题,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,答：,33,其中是,所围成的正方体的表面的,先计算,由于平面,都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.,解,三个坐标面与平面,外侧.,练习1：,34,x=a面在yOz面上的投影为正,而,x=0面在yOz面上的投影为负.,投影域均为:,0ya, 0za, 故,由 x,y,z 的对等性知,所求曲面积分为 3a4.,后两个积分值也等于a4.,35,练习2：,其中,解,法一,直接用对坐标的曲面积分计算法.,且其投影区域分别为,由于取上侧,在第一卦限部分的,上侧.,面的投影,都是,正的,36,取上侧,37,法二,利用两类曲面积分的联系计算.,取上侧,锐角.,38,39,若分片光滑的闭曲面,0,其中,注,x的偶函数,x的奇函数,曲面不封闭也可以.,取外侧(内侧仍成立),那末,关于yOz平面对称,40,练习3：,其中:,解,关于yOz面对称,被积函数,关于x为偶函数.,下侧.,关于zOx面对称,被积函数,关于y为偶