参数方程及其应.ppt

1,第5讲-参数方程及其应用,一、参数方程的复习,二、参数方程的应用,2,学习目标,1、掌握直线、圆和椭圆的参数方程，理解弹道曲线、双曲线和抛物线的参数方程； 2、较熟练地化一般参数方程为普通方程；也能对给定的参数，化一些简单的普通方程为参数方程； 3、理解圆的渐开线和摆线及其参数方程。,3,重 点,难 点,摆线及其参数方程 圆的渐开线,摆线及其参数方程 圆的渐开线,4,一、参数方程的复习,参数方程是曲线方程的一种形式，有些曲线的运动规律难于用x、y的方程直接表示，通过引进第三个变量（假如用t表示），求出对于第三个变量的函数表达式,从而间接地求得x、y之间的关系，找出曲线运动的规律.我们通常把方程叫做参数方程，相对于参数方程来说，前面学过的直接用x、y的表示曲线的方程，叫做曲线的普通方程.,5,引进参数以后，不仅可以求出某些曲线的方程，而且在很多情况下，使曲线方程的形式简单，便于研究其性质.因此参数方程是解析几何的重要内容之一，它既是进一步学习数学的基础，又是解决科学研究和生产实践的有效工具.,在理解参数方程的概念时，要注意以下几点： (1)在建立参数方程时，要先明确谁是参数; (2)注意参数的取值范围; (3)曲线的参数方程并不唯一;,6,以前我们曾学过一些参数方程的基本知识，如,7,例1：求下列参数方程所表示的曲线：,代入另一式化简得,故该参数方程表示的是一条线段，其方程为：,8,例1：求下列参数方程所表示的曲线：,解：（2）观察该参数方程的特征可知,所以,即有,化简得：,即该参数方程表示的是一条双曲线，其方程为：,9,思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？,同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件:线段OA的长等于弧MA的长,即OA=r,我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。,上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？,二、参数方程的应用,1.摆线,摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。,10,摆线的参数方程,根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。,设开始时定点M在原点，圆滚动了角后与x轴相切于点A，圆心在点B。从点M分别作AB、x轴的垂线，垂足分别是C、D。设点M的坐标为(x,y)，取为参数，根据点M满足的几何条件，有,11,所以摆线的参数方程为：,（其中为参数）,每一拱摆线的拱高为2r，拱宽为,拱长为 8r，面积为,12,摆线的应用,由于采用摆线作为齿廓线的齿轮，具有传动精度好、耐磨损等优点，所以在精密度要求较高的钟表工业和仪表工业中，广泛采用摆线作为齿轮的齿廓线。,13,例2：已知摆线的生成圆直径为80mm，写出摆线的参数方程，并求出其一拱的拱高和拱宽.,解：由于摆线的生成圆直径为80mm，所以生成圆的半径为40mm，摆线的参数方程为,（为参数）,其一拱的拱高为80mm，拱宽为80mm，约251.3mm.,14,2.圆的渐开线及其参数方程,定义：,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？,动点（笔尖）满足什么几何条件？,15,我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。,设开始时绳子外端(笔尖)位于点A，,展开后成,这就是动点（笔尖）满足的几何条件。,16,渐开线的参数方程,以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系。,设基圆的半径为r， 绳子外端M的坐标为（x，y）。 显然，点M由角唯一确定。,过点B作,，垂足为点D，交y轴于点C，则,取为参数，则,17,（为参数）,这就是圆的渐开线的参数方程。,渐开线的应用： 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。,18,注意： 1.发生线BP沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度。 2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。 3.渐开线的形状取决于基圆的大小 4.基圆内无渐开线,19,例3:有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所在的渐开线的参数方程。,解：因为基圆的直径为22mm，所以基圆的半径为11mm，因此齿廓线的渐开线的参数方程为：,(为参数）,20,小 结,你能总结一下本讲的主要内容吗？,21,1已知一齿轮的齿廓线为