《多元函数的概念》PPT课件.ppt

第七章,多元函数微分 本节学习多元函数的概念 多元函数的极限和连续性， 重点在二元函数。,（1）邻域,平面区域的概念,7.1 多元函数的概念,（2）区域,例如，,即为开集,设D是开集。如果对于D内任何两点，都可以用折线连接起来，且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通区域，简称为区域或开区域。,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,二元函数的定义与几何意义,1定义（二元函数）：设点集DR2，对于 P(x，y)D，变量z按照一定法则 总有确定的值与之对应，则称z是变 量xy的二元函数（或称点P的函数） 记为 z=f(x,y) （或z=f(P)） 定义域： D（点集） 自变量： xy 因变量： z 值 域：,o,x,y,z,P0,z0,2. 定义域：,用解析式表示的二元函数，其定义域是使该式有意义的点的集合（区域）（有特殊说明除外）； 例如：,o,x,y,D1,D1, 表达实际意义的多元函数，定义域由实际意义确定。,例如：圆柱体体积,o,R,h,D,3二元函数的几何意义,则空间点集 称为 的图形 一张曲面 例如：,o,x,y,z,Z=f(x,y),y,x,z,0,D, 球心在(0，0，0) ， 半径为R的上半球球面, 顶点在原点，位于 xoy面上方的圆锥面,R,O,x,y,z,o,x,y,z,S,S,二元函数的极限,1表述定义： 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义（点P0可以除外）， P(x , y)是该邻域内异于P0的任意一点，如果当点P以任何方式趋近于点P0时，函数的对应值 f(x,y)趋近于一个确定的常数A，我们称A是函数 z=f(x,y)当xx0yy0时的极限，记为,或,2. 分析定义： 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义（点P0可以除外）,A 为确定常数，若对于0，0，使当,的一切点P(x,y)(P(x0,y0)，恒有 成立，则称 A 为 z=f(x,y) 当PP0(xx0,yy0) 时的极限，记为 或,。,P0,P,注记：, PP0的方式必须是任意的。 例如，考察 当(x，y)(0，0)时的极限的存在性。 (x，y)沿 y=kx 趋于(0，0)时,有 f(x,y) 确定常数,y=kx,0,x,y,在PP0的某一种方式下，f(x,y)A， 不能断定函数极限存在。但是在 PP0的不同方式下，f(x,y)趋于不同的值，则可断定极限不存在。 在已知函数极限存在的前提下，可取 PP0的某种特殊方式求极限。 一元函数极限的运算法则等，适于二元函数情形。,例：讨论下列极限,二元函数的连续性,1定义（二元函数连续）: 设 z=f(x,y)在 P0(x0,y0)的某个邻域内有 定义，如果 则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续，P0为连续点 否则称f(x,y)在点P0间断，P0为间断点。,在点(0，0)间断,例如：,注记：,1、 f(x,y)在P0连续，满足三个条件，缺一 不可： f(x,y)在P0有定义f(x0,y0); ,2. f(x,y)在D上连续的几何意义 （曲面无孔隙无裂缝）,3二元初等函数在定义区域内连续,4若 则,5有界闭区域上二元连续函数的性质：, 最值存在性： 介值点存在性： 有界性：M0，使,第七章作业,P24 1(2)(3)(6) 2(2) 3(2