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模态综合法的综述 摘要：摘要：本文概述了子结构法中模态综合法的算法以及用一个实际结构的分析， 来详细说明模态综合法的基本原理与方法，最后考虑了其在实验应用中 的一些问题。 关键字：关键字：子结构法；模态综合法；实验模态综合法 中图分类号中图分类号：O327 文献标志码文献标志码：A Application of modal synthesis method Abstract： This paper outlines some algorithm of the modal synthesis method for sub structure method and a practical structure analysis， to tell the basic principles and methods of the modal synthesis method in detail. Finally we consider some problems in experiments. Key words： Sub structure method; Modal synthesis method; Experimental modal synthesis method. 引言：引言： 在现代工程结构中，经常要对一些十分复杂的大型结构(如飞机、船舶、车 辆、核反应堆等)进行总体动力分析。但是对于大型复杂的结构系统，采用有限 元技术在微机上进行精细的动态分析却仍然存在着很多的困难， 这主要是采用有 限元技术进行动态分析时， 需要结构各单元的总装矩阵， 这将使计算结构非常庞 大，一般微机的内存难以满足其计算要求。解决这些困难的途径，从当前看来， 主要是借助于划分子结构以实现特征方程降阶， 为在微机上进行大型结构的有限 元动分析及动态优化和结构动力修改提供了可靠的保证。 1、子结构法的分类子结构法的分类 子结法的基本操作步骤可以用先化整为零，后合零为整来概括，即将难 以或无法整体处理的结构按照一定的准则划分成两个或数个易于分析的部分， 并 通过独立的理论分析或实验测试的方法获取各部分的信息， 最后采用一定的综合 方法获得整体结构的动力学特性。当然，具体的操作对应于不同的子结构法也有 不同。 【1】 频域子结构法采用响应模型，操作亦比较简单，只需测试各子结构界面自由 度与内部自由度相关的阻抗， 而后根据界面位移协调和力平衡条件进行综合即可。 事实上由于系统阻抗较难测量， 一般采用导纳 （频响函数） 矩阵求逆来获取阻抗。 而时域子结构法（各类模态综合法）则是在模态空间中进行的。首先，通过 独立的动力学分析得到各子结构的模态集，即 Ritz 模态集（不同的模态集选择 形成了不同的模态综合法） ；第二步，运用之前确定的模态集对各子结构的物理 坐标进行模态坐标变换，从而在模态空间下表达各子结构；第三步，通过子结构 的界面连接条件进行第二次坐标变换，意在消去非独立的模态坐标，从而得到一 组独立的由各子结构模态坐标组成的描述整个系统的低阶独立广义坐标；最后， 将上述低阶模态空间的解变换回到原始的物理空间。 子结构信息的获取与最后结构总体综合是否能顺利进行， 也取决于结构的分 割是否合理。从工程应用的角度出发，子结构的划分应遵循如下原则： (1) 应尽量按照实际复杂结构的几何形状与装配关系划分； (2) 应尽量对原结构做较少的划分而得到较多的子结构，即使化整为零的 效果最大化，又使界面自由度尽可能地小； (3) 应尽量使各子结构的频率集中在某一频段内，且各子结构间的规模差异尽 可能不要太大，这样方便测试，也能保证综合结果的可信度。 2、模态综合法、模态综合法 模态综合技术是模态综合法法的中心内容， 它的基本思想是把一个整体结构 看成各个子结构的组合把部件的模态分析引入到整体结构的分析中而实现系统 自由度的缩减，以往所有的研究内容基本都是在时域内的模态组集。 模态综合法包括分支模态综合法，固定界面模态综合法， 自由界面模态综合 法和混和界面模态综合法等等。自本世纪 60 年代初提出了模态综合法的概念并 奠定其基础以来， 模态综合法得到了很大的发展， 在理论和应用方面都取得了巨 大的成功。 通过多年的实践证明模态综合法己成为解决复杂结构动力分析的有效 方法。 【2】 模态综合法总是把有限元模型的运动方程变换到模态坐标空间， 并采用基于 频率准则的截尾的部件低阶主模态。 原始系统的物理坐标转到保留的部件模态坐 标是一切模态综合法的必要步骤。 各种改进方法都在于尽可能地减小所谓截尾误 差，借以加速综合的收敛性。除了用部件的保留主模态外，再增补它的各种静力 模态(部件对于对接力或对接位移的静态响应)去参与系统主要固有模态的综合， 这便成为几乎是所有近代模态综合法的一个特征。 2.1 分分支模态综合法支模态综合法 分支模态综合法中采用了局部刚化，保证了相邻部件间位移协调性， 最后形 成的整体特征方程的阶数为各部件的保留主模态数之和。 。此法与纯粹的有限元 法和假设模态法相比有以下优点： (l)分支模态法经由分支模态的综合来减缩特征问题的尺寸， 比纯粹有限元法所取 的自由度小得多，从而减少计算量。 (2)通过对分支特征值问题的求解来取得假设模态，比纯粹的“假设模态法”误 差小得多。它的缺点是：只适用于静定对接系统，综合精度主要取决于以静定对 接的子系统来构造系统的精度。它的取法要求满足完备性条件。 把整个系统分成 b，c，s 分支，则系统的位移可表示成： u = q = IE qI qE （2.1 1） qI，qE分别为与刚体模态再和弹性保留模态集E对应的模态坐标。将(2.1-1) 式代入整体系统的自由振动方程 Mx + Kx = 0 并左乘T，便得到 Mq + Kq = 0 （2.1 2） 将(2.2)式的质刚阵写成分块的形式，(2.2)式对应的特征方程可以写成： (0 0 0KEE 2MII MIE MEI MEE )qI qE = 0 0 (2.1 3a) 它可以写成两个式子： M II q I + MIE q E = 0 (2。2。1 3b) K EE q E 2(MEI q I + MEE q E) = 0 (2.1 3c) 由(2.2.1-3b)求得： q I = MII 1 M IE q E (2。1 4) 将(2.2.1-4)式代入(2。2。1-3c)式，得到： K EE q E 2(MEI MII 1 M IE q E + MEE q E) = 0 即： K EE 2(MEE MEI MII 1 M IE ) = 0 (2.1 5) (2.2.1-5)式是一个 m 阶的特征值问题。 此即最后的综合方程，还原到原来的物理坐标，就可得出相应的模态。 总结以上，分枝模态法的计算步骤是： l)确定系统的分枝，找出各分枝的拘束矩阵 2)求各分枝系统的质量阵和刚度阵以及各分枝系统的特征值和特征向量 3)集合各分枝模态，形成假设模态 4)计算广义质量阵和广义刚度阵 5)求解综合方程，得到系统的所保留的前几阶低阶模态 6)还原到原来的物理坐标 22 固定界面模态综合法固定界面模态综合法 Craig 把每一个部件(子结构)上各节点的位移， 视为伴随交界面的牵连运动位移和 相对于交界面的位移之和。 设部件界面节点位移为uE，部件内部节点 I，伴随交界面的牵连运动位移为 CIE uE，内部节点工相对于界面的弹性变形位移可表示为： u =uI uE (a) =IK CIE 0IEE PK uE = H (a) (a) (a) P (a) （2.2 1） 这里IK 0 子结的固定对接主模态， 注意IK是正交归一的正则振形。CIE IEE是子结 定义在界面上的约束。 其中： C IE = KH1 K IE H 是子结构节点位移 u 转换成模态坐标 P 的转换矩阵。 设子结构的质量矩阵为(a)m，刚度矩阵为(a)k，对应于模态坐标(a)p 的广义质量 矩阵为(a)，广义刚度矩阵为(a)K 子结构 a 的运动方程式为： m (a) p (a) +k (a) p (a) =HT (a) 0 fE (a) （2。2 2） 如果把 A，B 两个子结构的运动方程式合并在一起，则有： m (a) 0 0m (a) p (A) p (B) + k (a) 0 0k (a) p (A) p (B) = HT (A) 0 0HT (A) 0 fE (A) 0 fE (A) (2.2 3) 若令： q = PK (A) PK (B) uE (2.2 4a) 可以找出 p 和 q 之间的关系 p=Tq，即得： PK (A) uE (A) PK (B) uE (B) = T PK (A) PK (B) uE (2.2 4b) 变换矩阵的表达式为： T = I00 00I 0I0 00I (2.2 4C) 将整体运动方程式左乘TT，得到 TT m (a) 0 0m (a) p (A) p (B) + TT k (a) 0 0k (a) p (A) p (B) = TTHTF (2.2 5a) 或： TT m (a) 0 0m (a) p (A) p (B) Tq + TT k (a) 0 0k (a) Tq = 0 （2.2 5b） 或： M q + Kq = 0 (2.2 6) 从以上可以得出，Craig 法的计算步骤是： l)划分子结构 2)求各子结构的质量阵和刚度阵 3)计算各子结构的固定对接主模态和定义在界面上的约束模态，构成转换矩阵 4)计算各子结构相应于广义坐标的广义质量矩阵和刚度矩阵 5)求解各子结构界面的连接协调矩阵 6)求出相应于 q 坐标的总体质量矩阵和总体刚度矩阵 7)解特征方程(K 一2M)=0，求解模态参数 8)将模态参数还原成物理坐标，用公式 p=Tq 和=Hp 本法的优点是：计算方法简单明了，各子结构不存在刚体位移，便于计算主 模态。缺点是在计算过程中，保留着所有界面节点位移坐标，因为界面自由度数 很多，造成综合方程的阶数很高，计算量较大。为了减少综合方程的维数，常对 界面节点自由度进行Guyan缩减或李兹缩减， 对特别复杂的结构可采用逐级Craig 法。此外，还有各种缩减方法，前面已经介绍过，这里就不再赘述了。 223 自由界面模态综合法自由界面模态综合法 初等的自由界面模态综合法用自由界面分支模态中的保留主模态作为各子 结构的假设模态， 但主模态数必须多于界面节点自由度数。考虑界面节点位移的 协调条件， 对整个结构进行了模态综合，形成的整体特征方程的阶数为各子结构 的低阶自由界面主模态总数减去全部界面结点自由度数。 此法的优点是计算简捷， 易于进行子结构实验。但因为舍去了分支自由界面主模态中的高阶模态， 因此精 度不高，而且在界面坐标较多的情况下，最后所得的系统特征值问题的阶数也较 高。 因之对其进行了改进。改进后的自由界面模态综合法是将每个子结构上的结 点位移用截断的前若干阶自由对接主模态和剩余模态的线性叠加表示。 3、模态综合法简单示例、模态综合法简单示例 下面我们用一个实际结构的分析，来详细说明模态综合法的基本原 理与方法。为了简明起见，我们将先考虑一个没有刚体自由度的简单结 构的无阻尼自由振动，并且只有两个子结构的情况。 图 3-1 为一个两端固定的梁，将它划分为和两个子结构，并将 每个子结构的物理坐标集分为内部坐标集与界面坐标集。对 与两个子结构，用矢量形式表示的物理坐标为： （3-1） 根据界面位移连续条件，有 （3-2） 由界面力的对接条件，有 （3-3） （3-3）式表示连接部分的作用力为作用力与反作用力的关系。经简单 的叠加，可得整个结构的动能为： （3-4a） 而系统的势能为 （3-4b） 式中，分别是与和子结构的物理坐标相对 应的质量矩阵和刚度矩阵。对各子结构作动力特性分析，并选出恰当的分支模态 构成模态矩阵，对与子结构分别作模态坐标变换。 （3-5a） （3-5b） 其中，分别是两个子结构的模态坐标。通常分支模态的个数远少于 子结构的自由度数。式（3-5）常称为第一次坐标变换。 将（3-5）式代入（3-4）式，则得到用分支模态坐标表示的系统动能与势能表达 式为： （3-6a） （3-6b） 其中 （3-7a） （3-7b） （3-8c） 显然，因为有方程（6-94）表示的约束条件，所以在系统的模态坐 标中，并非所有的坐标都是独立的，故不能把（6-98）式表示的系统动 能与势能表达式直接代入第二类 Lagrange 方程以求得系统的运动方程。 只有从中消去不独立的模态坐标后才能使用第二类 Lagrange 方程。 由各分支的模态坐标变换式（3-5）可得 （3-9a） （3-9b） 由此可得 （3-10a） （3-10b） 由界面位移连续条件（3-2）式，可得 或写为 （3-11） 简记为 （3-12） 式中，。式（3-12）就是一般的线性约束方程的形式。由 （3-12）式便可以很方便地进行第二次坐标变换独立坐标的变换。 中的独立广义坐标为，非独立的广义坐标为，即令 （3-13） 于是，（3-13）式可写成为 （3-14） 由此可得 （3-15） 因而有： （3-16） 式中称为独立坐标变换矩阵，有 （3-17） 上面的（3-16）式，通常称为第二次坐标变换。由此可用独立的广义坐 标来表示系统的动能与势能为 （3-18a） （3-18b） 其中 （3-19a） （3-19b） 于是，得到系统的无阻尼自由振动的运动方程 （3-10） 其相应的广义特征值问题可写为 （3-11） 这就是经过各子结构模态综合后的新方程。显然，方程的阶数等于所选 取的全部分支模态的总数减去连接坐标数（即约束方程数）。 对于一般的动力方程，也可得到缩减了自由度的动力方程为： （3-12） 式中，由（6-110）式决定，而和可写为： （3-13） 缩减后的动力方程式（3-14），直接积分等方法求解。 4 4、实验模态分析法、实验模态分析法 随着现代工程技术的飞速发展，以大飞机和大型运载火箭为代表的 结构系统越来越庞大且复杂，而工程中常需要快速准确地计算、分析和 预测其动态特性。由于此类结构边界条件复杂，材料特性和装配误差存 在较大的分散性，结构全尺寸实验分析代价太大，单纯依靠有限元方法 或者现代实验模态分析技术都不能很好地解决上述结构动态分析问题 $因此目前更有工程意义的模态综合法应用方案应是发展实验模态综合 技术，对于某些不能或者不便于进行有限元建模的子结构用实验模型取 代分析模型，对于其它子结构建立其有限元方法分析模型，最后通过模 态综合获得整体结构的动力学模型。 近十多年来，随着计算机、信号处理等技术的进步，试验模态分析 技术得到了快速发展。 现代模态测试系统一般包括传感器、数模转换器、数据采集卡和用 于分析数据的 PC 机。 4.14.1、激振方式：、激振方式： 模态测试实验的激振方式很多，使用最广泛的是冲击力锤和激振器。 激振的目的在于给测试结构提供一定频带内的能量输入，从而可以在响 应谱上观测到结构共振效应引起的振幅增大现象。锤击法属于非连接激 励，在接触瞬间对结构脉冲信号输入。该方法设置简单灵活且不会产生 附加质量，但主要缺点是输入能量有限，比较适合于小型结构的测试。 而激振器激励相对于力锤能提供连续的能量输入，且激励信号丰富。典 型的激励信号包括正弦扫频、白噪声和线性调频等等，每种信号都有各 自的适用范围与优缺点。然而，激振器设置较为复杂，且需要与测试结 构相连接，对于小型结构尤其是自由悬置结构势必产生附加约束。 4.24.2、测试方式、测试方式 早期测试主要以 SIMO（single-input, multiple-output）为主，即对 测试结构进行固定的单点激励并测量多点的响应，另一种与其相似的方 法 MISO（multiple-input, single-output）则是固定测试响应点而变换激 励点的位置。事实上根据线性结构的互易性（principle of reciprocity）， 上述两种方法是等价的，目的在于获取频响函数中的某一行或列。为了 弥补 SIMO 和 MISO 对结构激励能量有限且获取信息较少的缺点， 从上 世纪 80 年代开始，多点激励多点测量的 MIMO（multi-input, multiple-output）法以及相应的辨识技术也逐步发展并成熟起来。 4.34.3、与试验相结合的难点、与试验相结合的难点 然而现有的将模态综合法应用于实验领域的研究，也都停留在理论 数值分析阶段，或者单纯的对模态试验进行研究，很少真正的将实验测 量模态数据与有限元数据进行综合得到半试验半有限元模型。将实验模 型引入模态综合法中将导致以下三个与实验技术有关的难题: 1、 难以 通过实验方法获；2、难以计算子结构的剩余质量阵和剩余刚度阵；3、 难以测量转角模态，难以施加集中力矩载荷。 将实验模型引入模态综合法中将导致诸多与实验技术相关的困难。类似于 Craig-Bampton 法的固定界面综合法虽然精度很高，但由于其需要的约束模态集 很难在实验中真实地实现，并不适合运用于实验，所以，实验一般主要围绕自由 界面模态综合法展开。然而，自由界面模态综合法依然面临着一些难以回避的问 题：首先，难以通过实验的方式获得剩余惯附模态；其次，由于补充模态一般对 质量阵和刚度阵不具有归一化性质， 所以子结构模态空间的模型依赖于子结构的 质量与刚度矩阵，然而目前几乎不可