专题二平面向量

专题二平面向量【一】、知识归纳知识点1：平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.1作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个；3要注意向量共线与三点共线的区别与联系试一试1若向量a与b不相等，则a与b一定()A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量答案：C2若菱形ABCD的边长为2，则|_.解析：|2.答案：21向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则()2三点共线等价关系A，P，B三点共线 (0)(1t)t (O为平面内异于A，P，B的任一点，tR)xy (O为平面内异于A，P，B的任一点，xR，yR，xy1)练一练1D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A BC D答案：A2已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.解析：由题意知abk(b3a)，所以解得答案：知点2：平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1若a、b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.试一试1若向量(2,3)，(4,7)，则()A(2，4)(2,4)C(6,10) (6，10)答案：A2(2013石家庄模拟)已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值是_解析：u(12x,4)，v(2x,3)，uv，84x36x，x.答案：用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用练一练设e1、e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_a_b.解析：由题意，设e1e2manb.因为ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：知点3：平面向量的数量积与平面向量应用举例1平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cos ，规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|1若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c，若满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量2数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等试一试1(2013广州调研)已知向量a，b都是单位向量，且ab，则|2ab|的值为_解析：|2ab|.答案：2(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)， (2,2)若ABO90，则实数t的值为_解析： (3,2t)，由题意知0，所以232(2t)0，t5. 答案：51明确两个结论：(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立(因为夹角为时不成立)2利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧练一练1已知向量a，b均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为()A.B. C. D.解析：选B(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a|b|，故|a|22ab|a|22|a|2cosa，b0，可得cosa，b，又因为0a，b，所以a，b.2(2013福建高考)在四边形ABCD中， (1,2)， (4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10解析：选C依题意得，1(4)220，四边形ABCD的面积为|5.【二】、基本题型考点一向量的有关概念1.给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是()ABC D解析：选A不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑b0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.故选A.2设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3. 类题通法平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈(3)是与a同向的单位向量，是与a反向的单位向量考点二向量的线性运算典例(1)如图，在正六边形ABCDEF中，()A0BC D(2)(2013江苏高考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12 (1，2为实数)，则12的值为_解析(1)如图，在正六边形ABCDEF中，.(2)由题意()，所以1，2，即12.答案(1)D(2)考点三共线向量定理的应用典例设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1. 类题通法1共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若a，b不共线，则ab0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若，则A、B、C三点共线针对训练已知a，b不共线，a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由解：由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，所以有解之得t.故存在实数t使C，D，E三点在一条直线上考点四平面向量的坐标运算1.(2014昆明一中摸底)已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0)(3,6)C(6,2) (2,0)解析：选A3a3(1，2)(3,6)，设N(x，y)，则(x5，y(6)(3,6)，所以即选A.2(2013北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.解析：设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根据平面向量基本定理得2，所以4.答案：43已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n.解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得类题通法1向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程(组)思想的应用考点五平面向量基本定理及其应用典例如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，试用a，b为基底表示向量，.解析babba，bba，bab.类题通法用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理针对训练(2014济南调研)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_解析：因为kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.答案：考点六平面向量共线的坐标表示典例平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0.k.在本例条件下，若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解：设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得得或d(3，1)或(5,3)类题通法1向量共线的两种表示形式设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.2两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值针对训练已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点C的坐标为(5，3)考点七平面向量的数量积的运算1.(2014沧州模拟)已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6.则的值为()A.BC. D解析：选B由已知得，向量a(x1，y1)与b(x2，y2)反向，3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0,0)，得x1x2，y1y2，故.2(2014温州适应性测试)在ABC中，若A120，1，则|的最小值是()A. B2C. D6解析：选C1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.3(2013南昌模拟)已知向量e1，e2，则e1e2_.解析：由向量数量积公式得e1e2cos2sinsin4cos22.答案：24(2013全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析：因为，所以()()222.答案：2类题通法向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解考点八平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质是高考的重点归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直角度一平面向量的模1(2013天津高考)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60 , E为CD的中点若1 , 则AB的长为_解析：由已知得，221|21|cos 60|21，|.答案：角度二平面向量的夹角2(1)已知平面向量a，b，|a|1，|b|，且|2ab|，则向量a与ab的夹角为()A. B.C. D解析：选B|2ab|24|a|24ab|b|27，|a|1，|b|，44ab37，ab0，ab.如图所示，a与ab的夹角为COA. tanCOA，COA，即a与ab的夹角为.(2)(2014云南第一次检测)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值等于()A. BC. D解析：选B记向量2ab与a2b的夹角为，又(2ab)242232423cos13，(a2b)222432423cos52，(2ab)(a2b)2a22b23ab81891，故cos ，即向量2ab与a2b的夹角的余弦值是，因此选B.角度三平面向量的垂直3(1)(2013荆州高中毕业班质量检查)已知向量a与b的夹角是，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，则实数_.解析：若a(2ab)，则a(2ab)0，即2|a|2|a|b|cos0，2140.1.答案：1(2)在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，则k的值为_解析：(1)当A90时，0.213k0，解得k.(2)当B90时，又(1，k)(2,3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，解得k.(3)当C90时，1(1)k(k3)0，即k23k10.k.答案：或或.类题通法1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3)若a(x，y)，则|a|.考点九平面向量与三角函数的综合典例(2013江苏高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值解(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos ()，由0，得0.又0，所以，. 类题通法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等针对训练已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|,0，求的值解：(1)因为ab，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|，知sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.从而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin.又由0，知20，q0)，且满足pq6时，求ABC面积的最大值第组：重点选做题1(2013湖南高考)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1 B.C.1 D.22(2013天津一中月考)在四边形ABCD中，(1,1)，则四边形ABCD的面积为_答 案第组：全员必做题1选Da(ab)a(ab)a2ab|a|2|a|b|cosa，b0，故cosa，b，故所求夹角为.2选Bnn()nn(1，1)(1，1)2022.3选C设P点坐标为(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21.当x3时，有最小值1.此时点P坐标为(3,0)，故选C.4选D如图，.又2，()，即，C