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文档简介

导数与微分,一、导数的概念 1.自变量的增量： 2.函数的增量： 3.导数的定义：,导数与微分,即导数为函数增量与自变量增量比的极限,导数与微分,导数与微分,二、导数的物理和几何意义 1.物理意义： 表示运动物体瞬时速度即： 2.几何意义： 表示曲线yf(x)在x0处的切线斜率即 若切点为 则曲线在 的 切线方程为： 法线方程为：,导数与微分,导数与微分,三、基本求导公式：,导数与微分,导数与微分,导数与微分,四、求导法则 若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则,导数与微分,1.求下列函数的导数,导数与微分,导数与微分,导数与微分,2.复合函数求导,导数与微分,注：复合函数求导法则的关键在于： （1) 将复合函数分解成若干个基本初等函数； （2) 分别求出这些函数的导数并相乘； （3) 将所设中间变量还原,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,例5：证明：偶函数的导数是奇函数。 证：设f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x) u=-x,导数与微分,3.隐函数求导法则： 隐函数：由含x，y的方程F(x,y）0给出的函数称 为隐函数。有些方程，可以从中解出y，将y表示成 x的显函数的形式。如： 有些方程则不能解出y，如 等， 对于这样的隐函数可不必解出y，而是将y作为x的 函数隐藏在方程中利用隐函数求导法则求出其导数,导数与微分,隐函数的求导法则： 将y作为x的函数，yy(x)，于是F(x，y(x)）0 对方程两边的x求导，遇y时，将y作为中间变量， 利用复合函数求导法则对y求导再乘 得到一个含的方程，最后从新方程中解出,导数与微分,例6：求下列函数的导数,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,注：对一些较复杂的乘积，商或根式函数求导时，可利用先取对数后求导的方法计算,导数与微分,5.参数方程求导法则,导数与微分,导数与微分,五、函数的微分 1.微分的定义:设函数y=f(x)在点x0处可导, 是自变量x的增量,则称 为函数f(x)在x0处关于x的微分.记为: ,即 2.函数可微的条件: 定理: 函数y=f(x)在x点可微的充分必要条件是y=f(x)在x点处可导. 即：函数可微 存在,则函数可导且 ,反之,函数可导,既 存在,则 从而函数可微.,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,3.微分公式,导数与微分,导数与微分,4.微分法则,导数与微分,例10 求下列函数的微分：,导数与微分,导数与微分,5.一阶微分形式不变性： 若u为自变量,yf(u),则, 若u为中间变量, 从而不论u是自变量还是中间变量其微分的形式不变,皆为dy=f(x)du. 我们将微分的这一性质称为一阶微分形式不变性 利用一阶微分形式不变性可以方便的求出复合函 数和隐函数的微分和导数。,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与
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