函数、极限与连续(16).ppt

总成绩,期末考成绩（60%）,平时成绩（40%）,出勤（25）,作业（10）,课堂表现（5）,1、旷课1次，扣5分；本学期旷课累计达3次及以上者， 总成绩按不及格处理。 2、本学期每人交6-8次作业。,第一章 函数、极限与连续,第一节 函数 第二节 初等函数 第三节 常用经济函数 第四节 极限的概念 第五节 极限的运算 第六节 无穷小与无穷大 第七节 函数的连续性,第一节 函数,.数的扩展 自然数整数有理数实数 （1）自然数 N 0、1、2、3、4 （2）整数 Z -2、-1、0、1、2 （3）实数 R 有理数Q：整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数。 无理数：无限不循环小数，如圆周率 、自然对数的底e 。 （4）虚数I：平方是负数的数。如 x2 +1=0，x=i. （5）复数：由实数和虚数组成的数。如a+bi,一、实数与区间,定义 介于某两个实数之间的全体实数称为有限区间，这两个实数叫做区间的端点. （1）有限区间 开区间 （a, b）=x | axb 闭区间 a, b =x | axb 半开半闭区间 (a, b =x | axb （2）无限区间：含有-或+的区间。,2、区间,（1）定义 设a与是两个实数，且0，数集x | a- x a+ 称为点a的邻域，记为 U（a, ）= x | a- x a+ = x | |x-a| 其中，点a叫做该邻域的中心， 叫做该邻域的半径。 （2）a的去心的邻域，记为 U（a, ）= x | 0 |x-a| ,3、邻域,.函数的定义,二、函数的概念,通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应关系与定义域.,显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时,这两个函数才认为是相同的.,2.函数的定义域,1. 函数中有分式,要求分母不能为零； 2. 函数中根式,要求负数不能开偶次方； 3. 函数中有对数式,要求真数必须大于零； 4. 函数中有三角函数和反三角函数式,要求符合它们定义域； 5. 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域的交集。,例1 求下列函数的定义域,3.函数与函数值的记号,4. 函数的表示方法,表示函数的方法,最常用的有以下三种:,显函数 y=x+1 隐函数 ln y=sin(x+y) 分段函数,在不同的区间内用不同的式子来表示的函数称为分段函数，即用几个式子合在一起表示一个函数.,求分段函数的函数值时，应将自变量的值代入相应范围的函数表达式进行计算.,1-1,1.函数的奇偶性,三、函数的几种特性,2.函数的单调性,单调增加(或单调减少)函数的图形沿 轴的正向上升(或下降).,证,3.函数的周期性,4.函数的有界性,上述定义也适用于闭区间和无穷区间.,四、函数关系的建立,实际问题,数学模型,假设,简化,预测/解释,数学结论,分析,翻译,计算,指导,检验,研究,例5 某地出租车收费的标准为：3公里以内8元；超过3公里后，超过部分每公里1.5元；超过5公里后，超过部分每公里2.25元。 （1）请写出乘坐出租车路程x公里与收费y元之间的函数关系式。 （2）当路程为12公里时，收费为多少？,例6 用铁皮做一容积为V的圆柱形罐头筒，试将它的表面积表示为底半径的函数，并求定义域.,解,从上面的例子可以看出，建立函数关系时， 首先要弄清题意，分析问题中哪些是变量，哪些是常量； 其次，分清变量中哪个应作为自变量，哪个作为函数，并用习惯的字母区分它们； 最后，把变量暂固定，利用几何关系、物理定律或其他知识，列出变量间的等量关系式，并进行化简，便能得到所需要的函数关系。 找出函关系式后，一般还要根据题意写出函数的定义域。,第二节 初等函数,一、反函数 二、基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 三、复合函数 四、初等函数,一、反函数,解,二、基本初等函数,1、幂函数,2、指数函数,3、对数函数,4、三角函数,（1）正弦函数 （2）余弦函数,（3）正切函数 （4）余切函数,（5）正割函数 （6）余割函数,余割函数,5、反三角函数,由于三角函数都不是单调函数，为了得到它们的反函数，通常将三角函数限定在某个单调区间内讨论。,（1）反正弦函数 （2）反余弦函数 （3）反正切函数 （4）反余切函数,三、复合函数,例5 函数的复合 课本21页习题1-2 第2、3题。,例6 指出下列复合函数的复合过程（复合函数的分解）,解,定义4 由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合而构成的，并能用一个式子表示的函数，称为初等函数.,四、初等函数,初等函数的基本特征：在函数有定义的区间内，初等函数的图形是不间断的。,初等函数的应用,1、投资增值的计算 设P为初始投资，r为年利率，n为按年计算的投资时间，S为n年后的投资增值情况。 （1）单利 （2）复利 （3）连续复利,2、物理学中物质衰变的计算 书本22页习题1-2第7题,一、需求函数,某一商品的需要量是指在一定的价格水平下,消费者愿意而且有支付能力购买的商品量.,消费者对某种商品的需求由多种因素决定, 诸如消费者收入的增减、季节的变换等，而商品的价格是影响需求的一个主要因素。现在假定价格以外的其他因素均为常量,只研究需求与价格的关系.,第三节 常用经济函数,一般情况下,商品的价格越低,需求量越大;商品价格越高,需要越小.因此需求函数是单调减少函数.,依据经济统计数据,常见的需求函数有以下几种类型.,解,二、供给函数,某一商品的供给量是指在一定的价格水平下,生产者愿意生产并可供出售的商品量.,一般情况下,商品的价格越低,生产者不愿生产,供给少;商品价格越高,生产者愿意生产并且能够向市场提供的多,因此供给函数是单调增加的.,依据经济学中的统计数据,常见的供给函数有以下几种类型.,如果市场上某商品的需求量恰好等于供给量,则称此市场处于供需平衡状态,此时的商品价格称为均衡价格.市场上的商品价格将围绕均衡价格上下波动.,解,三、成本函数,解,四、收益函数,总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入，平均收益是生产者出售一定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品的售价.,五、利润函数,解,例 课本29页习题1-3第6题,贴现：票据的持有人，为在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到剩余金额的现金称为贴现。 现值：储蓄的钱如果考虑贬值的因素，未来某一时点上一定量资金折合成现在时点的价值就叫做现值。 未来值：现时的资金增长至将来的价值，资金增长以复利计算。,六、贴现,若票据持有者手中持有多张不同期限及不同面额的票据，且每张票据的贴现率相同，则一次性向银行转让票据时所获得的金额为,例 某人手中持有一年到期的面额为300元和5年到期的700元的两张票据，银行贴现率为7%，若现在去银行进行一次性票据转让，银行所付的贴现金额为多少？,解：,思考题,课堂练习题,答案,答案,作业1,第四节 极限,4.1 数列的极限,一、数列极限的定义,如果一个数列没有极限，就称该数列是发散的。,例1 观察下列的通项变化趋势，写出它们的极限,由表中各个数列的变化趋势，根据数列极限的定义可知：,通过以上例题，可以推得以下常用极限：,解：,数列极限四则运算法则：,二、数列极限的四则运算,解,例3 求下列各极限.,解,三、无穷递缩等比数列的求和公式,这个公式叫无穷递缩等比数列的求和公式.,解,等差数列通项公式,等差数列求和公式,(1)唯一性 如果一个数列有极限,则此极限是唯一的.,(2)数列有无极限,极限是何值,与该数列的有限项项数无关.,四、数列极限的性质,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,4.2 函数的极限,先看下面的例子:,例3 观察并写出下列函数的极限:,解,1-20,1-19,三、左极限与右极限,解,解,四、函数极限的性质,思考题,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,作业2,第五节 极限的运算,5.1 极限的运算法则,解,解,解,解,解：,解：,解：,解,解,复合函数的极限运算法则,解：,思考题,答案,5.2 极限存在准则,解：,5.3 两个重要的极限,证,解,解,解,解,解,其他形式：,解,解,解,课堂练习题,答案,答案,作业3,书本42页习题1-5 第1题 （3）（7） 第2题 （3）（6） 第3题 （5）（6）,第六节 无穷小与无穷大,1.无穷小的定义,一、无穷小与无穷大的定义及其关系,应当注意以下几点:,2.无穷大的定义,与无穷小相仿,应当注意以下几点:,3.无穷小与无穷大的关系,解,例2 以下函数在怎样的变化过程中是无穷小?你能写出相同过程下的无穷大吗?,解,例3 讨论以下函数在何种情况下为无穷小?无穷大?,解,1.无穷小与函数极限之间的关系,2.无穷小的性质及推论,性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小.,性质3 有界函数与无穷小的乘积为无穷小. 推论1 常数与无穷小的乘积仍为无穷小,性质2 有限个无穷小的乘积仍为无穷小. 推论2 无穷小的正整数次幂仍为无穷小.,二、无穷小的性质,解,解,解,三、 无穷小的比较,已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？,表1-3 三个无穷小趋向零的快慢程度,解,解,同阶与等价的无穷小均具有反身性、对称性和传递性,两者相比，等价无穷小比同阶无穷小用得更多，所以下面重点讨论等价无穷小.,本定理说明，在求商式或乘积的极限时，分子或分母有无穷小量的因子时，可以用和它等价的无穷小代换。这种等价无穷小代换常使计算简化，但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换，而诸如对加式、减式或幂式等函数中出现的无穷小的求极限过程一般不能用等价无穷小代换.,解,解,解,解,四、无穷大的性质,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,答案,答案,作业4,2、课本48页习题1-6 第3题 （1）（2） 3、课本48页习题1-6 第5题 （ 2）（4）,第七节 函数的连续性与间断性,连续性是函数的重要性质之一，是相对间断而言的，它反映了许多自然现象的一个共同特性.例如，气温的变化、动植物的生长以及空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化着.这些现象反映在数学上，就是函数的连续性.,一、函数连续性的概念,(一)函数的增量,解,(二)函数的连续性,图1-24 函数连续性与间断点,那么，上述函数的连续与间断如何用数学语言来定义呢？,这一定义说明了连续的本质：当自变量变化微小，函数值相应变化也很微小.,证明,下面先介绍函数的左连续与右连续的概念.,解,显然，在某一区间内，连续的函数其图形是一条连续不断的曲线，这是连续函数的几何特性.,（一）间断点,下面三个函数在x =1的连续性.,二、函数的间断点,（二）间断点的分类,例5 求下列函数的间断点，并说明其类型.,解,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,三、 初等函数的连续性,1.基本初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内都是连续的.,2.连续函数的和、差、积、商的连续性,一、初等函数的连续性,3.反函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数且单调性不变.,4.复合函数的连续性,连续函数的复合函数仍为连续函数,在求复合函数极限时，若内外层函数均为连续函数，则极限符号与函数符号可层层交换次序，即,上式也可写成,解,解,5.初等函数的连续性,一切初等函数在定义区间内都是连续的.,解,解,解,1.最大值与最小值性质,定理4 在闭区间上连续的函数，在该区间上至少取得它的最大值和最小值各一次.,二、闭区间上连续函数的性质,此定理中有两点需要注意：闭区间与函数连续，即在开区间（a,b）内连续，或在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有最值或最小值.,2.介值性,证,思考题,答案,答案,答案,返回,返回,函数有界性的定义当中，