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文档简介

7.5 函数展开成幂级数,一 泰勒级数,二 函数展开成幂级数,一 泰勒公式与泰勒级数,1.泰勒公式：,2.麦克劳林公式,3.定义 如果f(x)在点 处任意阶可导,则幂级数 称为 在点 的泰勒级数. 称为 在 点 的麦克劳林级数.,二 函数展开成幂级数,1. 麦克劳林级数直接展开法,设函数 f(x) 在区间（-R,R）内有任意阶导数，,且能,展开成x的幂级数,由可导性知，,例1 用直接展开法将函数,展成 x,的幂级数。,解 由于,则,幂级数为,因为,该幂级数收敛半径,收敛区间为,所以,例2 用直接展开法将函数,展成,x的幂级数。,解 由于,故,依次循环取0，1，0，-1，于是得级数,易知它的收敛半径,收敛区间为,所以,2 . 间接展开法,以上求,的幂级数展开式都需要求出,的,任意阶导数，,求出,代入公式，显然比较麻烦。,下面介绍利用已知函数展开式，通过幂级数的运算或变,量代换求函数展开式的方法，称之为间接展开法。,例3 将函数,展成 x 的幂级数。,解 因为,两边逐项求导得,例4 由等比级数知,将上式中的 x 握换成,将上面两端分别从 0 到 x 积分，得,例5 将函数,展开
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