函数、极限与连续(9).ppt

刘外喜 L高等数学,课程介绍,课程名称：高等数学 课程类型：公共必修课/公共基础课 总学时数：70 考核方式：考试 成绩：平时占30，期末考试占70 重要性和目标：重要的基础课,参考书籍,微积分学的研究对象是函数函数概念是数学中的一个基本而重要的概念 直到公元1837年，德国数学家P.G.L.狄利克雷（Dirichlet,1805-1859)才提出现今通用的函数定义，使函数关系更加明确，从而推动了数学的发展和应用,背 景,1.1 函数,1.1.1 函数 1.1.2 复合函数 1.1.3 初等函数,1. 我们用符号“” 表示“任取”,或“对于任意的”,或“对于所有的” ,几种重要的符号,2. 我们用符号“”表示“存在”.,例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y, 使得x+y=1”,可表示为： “xR, yR,使x+y=1”,3. 我们用符号“”表示“充分条件”,比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句.,或 “推出” 这一意思.,则“ p q”表示： “ 若p成立, 则q也成立”,即p是q成立的充分条件.,4. 我们用符号“”表示“当且仅当”,比如“p q”表示“p成立当且仅当q成立” 或者说p成立的充要条件是q成立.,或 “充要条件” 这一意思.,邻域,当,去心邻域,函数的概念,一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习,我们知道，一天的气温随着时间的,时间之间的变化关系呢？,变化而变化如何准确地表示气温与,案例1 气温与时间的关系,案例2 圆面积公式,圆的面积A与半径r的函数关系为,函数,设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。,若对于x在D内每取一个数值,变量 y 按照 一定的法则f，,总有唯一确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记,作y = f (x) ，其中 x 为自变量，y为因变量。,定义域：其中的数集D，记做Df 函数值：对应的y取到的数值。 值域：函数值的全体，记做Rf 。,单值函数：每个x对应唯一的y。 多值函数：每个x对应的y不是唯一。,判断两个函数相同的依据,定义域相同 对应法则相同,(1)解析法,y = f (x)=x2,因变量,法则,自变量,解析法的优点是便于数学上的分析和计算,(2) 列表法,列表法的优点是直观、精确,内气温（单位：oC）的变化规律,下表列出了在上午10:00到中午12:00每隔,20min测得的气温数据，由此可以观察出这段时间,(3) 图形法,图形法的优点是直观、通俗、容易比较,定义域的求法,例题,练习1 自由落体运动方程,在自由落体运动中，物体下落的距离随下落,时间的变化而变化，下落距离s与时间t之间的,其中g 为重力加速度,函数关系为:,分段函数,在不同的定义域上用不同的函数表达式,表示的函数称为分段函数,绝对值函数,符号函数,1. 单调性.,单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.,设f (x)在(a, b)有定义. 若x1, x2(a, b). x1 x2, 有f (x1)f (x2) , 则称f (x)在区间I上单调递增。,区间I称为f (x)的单调区间.,三、函数的特性,如, y = x2,y=x2,0,x,y,在(, 0上单调递减, 而在0, +)上单调递增.,2. 奇偶性.,(1) 若xDf . 有f (x)= f (x). 则称f (x)为偶函数. 其图形关于y 轴对称.,(2) 若xDf. 有f (x)= f (x). 则称f (x)为奇函数. 其图形关于原点对称.,设f (x)的定义域为Df ， Df并且是关于原点对称的。,易见, 常函数y=c是偶函数.,例题,3. 有界性,定义3.,几何意义： 由于| f (x)|M M f (x) M.因此, f (x)在(a, b)内有界. 就表示了f (x)的图形夹在两平行直线y = M 之间.,设f (x)在(a, b)有定义,若存在常数M0, 使x(a, b), 有| f (x) |M.则称f (x)在(a, b)内有界.,若M1, 使x(a, b), 有 f (x) M1, 则称f (x)在(a, b)内有上界. M1称为它的一个上界,看图.,若M2, 使x(a, b), 有 M2 f (x), 则称f (x)在(a, b)内有下界. M2称为它的一个下界,看图.,f (x)在(a, b)有界 f (x)在(a, b)既有上界, 又有下界.,若f (x)在(a, b)内不满足有界性定义3, 则称f (x)在(a, b)无界。,即, 若对M 0, x0(a, b), 使得 | f (x0)| M, 则称f (x)在(a, b)无界。,比如, , 在(0, 1)内无界.,从几何上看, 它的图形不能全部夹在任何两条平等于x 轴的直线之间.,4. 周期性.,设f (x)的定义域为Df . 若存在常数l0, 使x Df. 有x l Df . 且 f (xl)=f (x).则称f (x)为周期函数. l为f (x)的周期.,最小正周期：满足以上定义的的最小正数l 通常称最小正周期为f (x)的周期.,易见, 若l为f (x)的周期, 则nl均为f (x)的周期, n=1,2, 。,由于周期函数的函数值是呈周期变化. 因此, 周期函数的图形也是呈周期性变化. 会周而复 始的重复出现. 如y=sinx, y=cosx.,如y=sinx, 2n都是sinx的周期, 其中n=1,2, 它的最小正周期为2.,是周期函数,它的周期为n, n=1,2,最小正周期为.,有些周期函数没有最小正周期.,如常数函数y=f (x)=c (常数), 是一个周期函数. 任何一个大于0的常数T都是它的一个周期.,这是因为 f (x)= c= f (x+T),在这无穷多个大于0的周期T中, 找不到一个最小的正周期T.,四、反函数,定义1.2中的注意点：,例题,注意定义域和值域,基本初等函数为以下五类函数：,， 是常数,基本初等函数,(1) 幂函数,(2) 指数函数,(3) 对数函数,1.1.2 复合函数,1、初等函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,(4) 三角函数,反正弦函数,反