函数、极限、连续(8).ppt

(二1),函数 极限 连续,（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。,（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，两边夹定理，单调有界数列极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。,（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x，x+，x-）时函数的极限。,（4）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。,（6）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。,（5）掌握函数极限的定理：唯一性定理，两边夹定理，四则运算定理。,【极限】,一、数列极限,1、数列,函数、极限、连续,按照一定顺序排成的一列数,称为数列，记作,数列中的每一个数称为数列的项，,第 项 称为数列的通项(一般项),函数、极限、连续,1、数列 可看成定义域是全体正整数的,函数,2、设数列,如果对于每个,都有,则称 是单调增加(减少)数列.,若,则称 是严格单调增,加(减少)数列.,函数、极限、连续,对任意的,3、若存在,恒有,则称数列 为有界数列.,2、数列极限的定义,在数列 中，,若当 无限变大时，,无限取近于一个确定的常数A，,则,称当 趋于无穷大时，,数列以A为极限,函数、极限、连续,时，数列 收敛于A.,则就称,若数列极限不存在，,发散.,3、数列极限的性质,唯一性:,若数列有极限，则此极限唯一,有界性：,若数列有极限，则该数列有界,即当,无界数列一定发散（正确）,若数列有界，则该数列有极限,逆否命题,逆命题,（错！）,4、单调有界数列极限存在定理,单调有界数列必有极限,反例：1 ，-1，1，-1，1，-1,5、两边夹定理,设有三个数列,若存在,使得,有,且有,则,例：,由两边夹定理知,存在，且,由两边夹定理知,重要结论：设,则,函数、极限、连续,二、函数极限,1、函数极限的定义,定义:,函数,值 无限接近于A，,如果在自变量的变化过程中，,的极限，记作,则称A是函数,(1)当 时，,或,函数、极限、连续,或,或,当 时,(2)当 时，,或,例如：,不存在,重要说明：,函数 在点 有无极限于它在该点,有无定义没有关系,函数、极限、连续,2、函数极限的性质（局部保号性）,若,则必存,在点 某一去心邻域，,(或 ）,若在点 某一去心邻域内有,(或 ）,且,则必有,(或 ）.,函数、极限、连续,三、函数极限存在的两边夹准则,则,设函数 在点 的某一,去心邻域内(或 )有定义，若有,函数、极限、连续,四、函数极限四则运算法则,函数、极限、连续,五、两个重要极限,函数、极限、连续,六、无穷小和无穷大,1、定义,无穷小的定义:,若在自变量的变化过程中，,函数,在变化过程中的无穷小量(简称无穷,极限为零，,则称函数 为自变量,小),记作,其中 是简记符号,可表示为,函数、极限、连续,无穷大的定义:,若在自变量的变化过程中，,函数,的绝对值无限增大，,则称函数,为自变量在变化过程中的无穷大量,(简称无穷大)，记作,其中 是简记符号 ，可表示为,函数、极限、连续,2、无穷小量的性质,(1)、有限个无穷小量的代数和是,无穷小量.,(2)、有限个无穷小量的积是无穷,(3)、任一常数与无穷小量之积是,无穷小量.,小量.,函数、极限、连续,(4)、无穷小量与有界变量之积是无,穷小量.,(5)、无穷大量的倒数是无穷小量，,当无穷小不为零时倒数为无,穷大量.,(6)、无穷小量与函数极限的关系：,函数、极限、连续,3、无穷小阶的比较：,设 都是自变量 同一变化过,程中(假设 )的无穷小，即,(1).若,则称 是比 高阶的,无穷小.记作,(2).若,则称 是比 高阶的,无穷小.,函数、极限、连续,解:,是比 高阶的无穷小.,或,时,函数、极限、连续,(3).若,( 为不为零或1的常数)，,则称 与 是同阶无穷小.,(4).若,则称 与 是等价无,无穷小.记作,4、等价无穷小的代换定理,设 是自变量,同一变化过中的无穷小,且,函数、极限、连续,存在，,则,常见等价无穷小量:,当 时，,当 时，,代换 时，,公式仍成立.,函数、极限、连续,解:,是比 高阶的无穷小.,即,函数、极限、连续,是比 高阶的无穷小.,即,与 等价.即,函数、极限、连续,与 是同阶无穷小.,函数、极限、连续,函数、极限、连续,解:,是比 高阶的无穷小.,2、解法一:,函数、极限、连续,解法二:,函数、极限、连续,函数、极限、连续,七、常用求极限的方法,1、初等函数在定义域内求极限方法：,解:,函数、极限、连续,2、 或 型,方法：,一般用洛比塔法则,1、常函数,2、幂函数,3、指数函数,求导公式:,4、对数函数,函数、极限、连续,5、反三角函数,函数、极限、连续,6、三角函数,函数、极限、连续,函数、极限、连续,解:,函数、极限、连续,函数、极限、连续,解：,函数、极限、连续,函数、极限、连续,函数、极限、连续,1、 使用洛比塔法则之前，应先,检验分子、分母的极限是否均,为 或均为,2、使用一次洛比塔法则之后，须对式子及,时化简，,若算式仍然符合洛比塔法则条件,洛比塔法则可连续使用.,3、定理的条件是充分的，,即如果 不存,在(不是 型的不存在)，,不能断定,函数、极限、连续,的极限不存在，,洛比塔法则失效，,应使用其它方法求极限.,解：,原式,函数、极限、连续,而 不存在，,故洛比塔法则失效,另解：,函数、极限、连续,解：,函数、极限、连续,4、 使用洛比塔法则求极限时，若能注意,结合以前所学知识(等价无穷小代换或,恒等变形)也可以简化运算.,函数、极限、连续,解：,函数、极限、连续,利用等价代换时,只能乘数因子的代换,而不能作加、减的代换,函数、极限、连续,函数、极限、连续,解：,函数、极限、连续,函数、极限、连续,5、对形如：,一般不用洛比塔法则.,方法：,一般是分子、分母都除以,分母的最高次幂.即,函数、极限、连续,解：,函数、极限、连续,函数、极限、连续,解：,函数、极限、连续,函数、极限、连续,函数、极限、连续,函数、极限、连续,一般不用洛比塔法则.,6、当 时， 型的无理式，,方法：,分子或分母有理化,函数、极限、连续,解：,函数、极限、连续,函数、极限、连续,函数、极限、连续,解：,函数、极限、连续,或,或,函数、极限、连续,或,函数、极限、连续,使用范围：,(1)、分母 分子=常数,方法：,求函数的倒数的极限,(2)、无穷小量乘以有界量的极限,方法：,无穷小量乘以有界量的极限=0,函数、极限、连续,(3)、分母 分子=常数,方法：,分子.分母除以分母的最大量,是有界量.,若 时, 则,函数、极限、连续,解：,函数、极限、连续,由无穷小量的性质知,函数、极限、连续,解：,由无穷小量的性质知,函数、极限、连续,函数、极限、连续,4、 型,方法：,