函数的幂级数展开式的应用(3).ppt

2019/7/6,1,常用函数的幂级数展开式,2019/7/6,2,第五节 函数的幂级数展开式的应用,第十二章,一、近似计算,三、欧拉公式,二、微分方程的幂级数解法,2019/7/6,3,一、近似计算,解: 已知,故,令,得,于是有,2019/7/6,4,在上述展开式中取前四项,2019/7/6,5,( 取,的近似值, 精确到,解:,例2 计算定积分,2019/7/6,6,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,2019/7/6,7,二、微分方程的幂级数解法,当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时 我们就要寻求其它解法 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法,其中函数f(x y)是(xx0)、(yy0)的多项式 f(x y)a00a10(xx0)a01(yy0) aim (xx0)l(yy0)m,这时可设所求特解可展开为xx0的幂级数 yy0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n 其中a1 a2 an 是待定的系数 把所设特解代入微分方程中 便得一恒等式 比较这恒等式两端xx0的同次幂的系数 就可定出常数a1 a2 从而得到所求的特解,幂级数解法基本思想,解,于是所求解的幂级数展开式的开始几项为,例1 求方程yxy2满足y|x00的特解,这时x00 y00 故设,ya1xa2x2a3x3a4x4 ,把y及y的幂级数展开式代入原方程 得,a12a2x3a3x24a4x35a5x4 ,x(a1xa2x2a3x3a4x4 )2,xa12x22a1a2x3(a222a1a3)x4 ,由此 比较恒等式两端x的同次幂的系数 得,定理,提示:,例2 求方程yxy0的满足y|x00 y|x01的特解,解,这里P(x)0 Q(x)x在整个数轴上满足定理的条件,因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数,ya12a2x3a3x24a4x3 nanxn1 ,ya0a1xa2x2a3x3a4x4 ,y2a2x32a3x43a4x2 n(n1)anxn2 ,把y及y代入方程yxy0 得,2a232a3x(43a41)x2(54a5a 2)x3 (65a6a3)x4 (n2)(n1)an2an1xn +.=0.,由y|x01 得,由条件y|x00 得a00,a11,于是,a20 a30 a50 a60 a80 a90,2019/7/6,12,二、欧拉公式,(Euler formula),则称 收敛 , 且其和为,绝对收敛,收敛 .,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于, 故知,2019/7/6,13,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛 .,当 y = 0 时, 它与实指数函数,当 x = 0 时,的幂级数展式一致.,定义 复变量,2019/7/6,14,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,2019/7/6,15,据此可得,(德莫弗公式),利用幂级数的乘法, 不难验证,特别有,2019/7/6,16,欧拉 (1707 1783),瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论 , 微,还,写了大量力学, 几何学, 变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与