函数的连续性(137).ppt

第一章 函数 极限 连续,第五节 函数的连续性,一、连续函数的概念,二、连续函数的基本性质,三、闭区间上连续函数的性质,四、函数间断点及其分类,一、连续函数的概念,定义 1 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义，,则称函数 y = f ( x ) 在 x0 处连续，或称 x0 为函数 y = f (x) 的连续点 .,且,记 x = x - x0，且称之为自变量 x 的改变量或增量，,记 y = f (x) - f (x0) 或 y = f (x0+ x) - f (x) 称为函数 y = f (x) 在 x0 处的增量.,那么函数 y = f (x) 在 x0 处连续也可以叙述为：,定义 2 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义，,如果,则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续.,若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：,则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续.,由此可知，函数 y = f (x) 在 x0 处连续的充要条件可表示为：,即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续,若函数 y = f (x) 在开区间 I 内的各点处均连续，,若函数 y = f (x) 在闭区间 a, b 上连续，则理解为除在 (a, b) 内连续外，,在左端点 a 为右连续，在右端点 b 为左连续.,定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思：,它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限值等于该点处的函数值.,则称该函数在开区间 I 内连续.,例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 .,证 任取 x0 (- , + )，则因, y = f (x0 + x) - f (x0) = sin(x0 + x) - sinx0,这表明 y = sin x 在 x0 处连续，,由于 x0 的任意性可知它在定义域内连续 .,例 2,解 因为,所以 f (x) 在 x = 0 处连续.,例 3,证 因为,且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 处左，右连续，所以它在 x = 0 处连续 .,二、连续函数的基本性质,定理 1 若函数 f (x) 和 g (x) 均在 x0 处连续，,则 f (x) + g (x) ， f (x) - g (x)， f (x) g (x) 在该点亦均连续，,又若 g(x0) 0，,故由极限的运算法则可得,因此 f (x) g (x) 在 x0 处连续 .,证 我们仅证明 f (x) g (x) 的情形 .,因为 f (x) ，g (x) 在 x0 处连续，,所以有,定理 3 若函数 y = f (x) 在某区间上单值、单调且连续，,即它们同为递增或同为递减.,则它的反函数 x = f -1 ( y ) 在对应的区间上也单值、单调且连续，且它们的单调性相同，,定理 4 初等函数在其定义区间内是连续的.,定理 2 设函数 y = f (u) 在 u0 处连续，函数 u = (x) 在 x0 处连续，且 u0 = (x0) ，则复合函数 f (x) 在 x0 处连续 .,例 4,解 因为 arcsin(logax) 是初等函数，且 x = a 为它的定义区间内的一点，,所以有,例 5,应当先将该函数的分子有理化，,消去为零的因子 x，,再计算极限，,即,一般地，,解 这是一个 型的极限问题.,例 7,解,例 8,解,令 x a t ，由 x a，则 t 0.,三、闭区间上连续函数的性质,定理 5 若函数 y = f (x) 在闭区间a, b上连续,(2) 在 a, b 上至少存在一点 x2，,(1) 在 a, b 上至少存在一点 x1，,使得对于任何 x a, b，恒有 f (x1) f (x).,使得对于任何 x a, b，恒有 f (x2) f (x).,x1,x2,则,若函数在开区间内连续，,f (x1)， f (x2) 分别称为函数 y = f (x) 在区间 a, b 上的最大值和最小值，定理 5 又称最大值和最小值存在定理 .,如函数 y = x2 在区间 (0, 1) 内就无最大值和最小值 .,则它在该区间内未必能取得最大值和最小值，,则它在 a,b内取得介于其最小值和最大值之间的任何数.,定理 6 若 f (x) 在 a, b 上连续，,推论 若 f (x) 在 a, b 上连续，且 f (a) f (b) 0，,推论 若函数 y = f (x) 在闭区间上连续，则它在该区间上有界 .,a,b,y = f (x),则至少存在一个 c (a,b)，使得 f (c) = 0 .,c,例 9 证明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至少有一个实根.,证 设 f (x) = x3 - 4x2 + 1，由于它在 0, 1 上连续且 f (0) = 1 0， f (1) = - 2 0，,因此由推论可知，至少存在一点 c (0, 1) ，使得 f (c) = 0.,这表明所给方程在 (0, 1) 内至少有一个实根 .,四、函数间断点及其分类,定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域有定义(在 x0 可以没有定义)，,则称 x0 是函数 y = f (x) 的间断点. 也称函数在该点间断.,如果函数 f (x) 在点 x0 处不连续，,1.第一类间断点,若 x0 为函数 y = f (x) 的间断点，,则称 x0 为 f (x) 的第一类间断点.,即左、右极限都存在的间断点为第一类间断点 .,例 10 证明 x = 0 为函数,证 因为该函数在 x = 0 处没有定义, 所以 x = 0 是它的间断点，,又因为,所以 x = 0 为该函数的第一类间断点 .,例 11 证明函数,在 x = 0 处是第一类间断点.,因此 x = 0 是该函数的第一类间断点 . 这类间断点又称为可移去间断点.,证,即该函数在 x = 0 处的左、右极限存在，,但是由于,因为，如果修改定义 f (0) = 1，,所以，左、右极限存在且相等的间断点称为可移去间断点.,在 x = 0 连续.,则函数,2.第二类间断点,若 x0 是函数 y = f (x) 的间断点，,且在该点至少有一个单侧极限不存在，,则称 x0 为 f (x) 的第二类间断点.,故 x = 0 是该函数的间断点.,即该函数在 x = 0 处的左、右极限都不存在，,所以 x = 0 是该函数的第二类间断点.,例如，,例 12 证明 x = 1 是,的第二类间断点.,证 所给函数在 x = 1 处没有定义，因此 x