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文档简介

12.2 可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的通解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,例2 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,例3：求解微分方程,解：,两边积分，得解：,解,由题设条件,衰变规律,建立微分方程,例： 小船从河边点O出发驶向对岸，设船速为a,船行方向始终与河岸垂直又设河宽为h，河中任一点处的水流速与该点到两岸的距离乘积成正比，求小船航线,解：取O为原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸。 并设小船的航行路线为y=y(x)，则小船的航行速度为：,代入初始条件y(0)=0,得C=0，,则所求航线为：,通解为,解,例6,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,12.3 齐次方程,一阶齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,齐次方程可以通过变量代换化成可分离变量的方程,例 1 求解微分方程,微分方程的解为,解,例 2 求解微分方程,解,微分方程的解为,例 3 抛物线的光学性质,实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,如图,分离变量,积分得,得微分方程,平方化简得,抛物线,一般的可化为可分离变量方程 求解微分方程常用的方法之一是通过变量代换将给定的微分方程化
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