可测函数的收敛性(2).ppt

第二节 可测函数列的收敛性,第三章 Lebesgue可测函数,f 和fn是定义在可测集E上的可测函数和可测函数列,函数列的几种收敛定义,一致收敛:,点点收敛: 记作,例：函数列 fn(x)=xn , n=1,2, 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛,几乎处处收敛: 记作 (almost everywhere）,即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛,即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,定义2.2: (近一致收敛)几乎一致收敛:记作 (almost uniformly),fn不几乎一致收敛于f,几乎一致收敛:记作 (almost uniformly),即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛,任意 （ ）,适当小,小,fn不几乎一致收敛于f的例子,即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛,定义2.3:依测度收敛: 记作,注：从定义可看出， 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外） 依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何,不依测度收敛,依测度收敛,例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛, 即几乎一致收敛.,2.几乎处处收敛与几乎一致收敛的联系（叶果洛夫定理）,即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）,定理2.2 叶果洛夫(Egoroff)定理,引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,证明：由于 为零测度集， 故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：,叶果洛夫定理的证明,对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue定理的证明的说明,下证明 由(3)推出(2),对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue定理的证明的说明,下证明 由(4)推出(3),对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明,注：叶果洛夫定理的逆定理成立,注a: 叶果洛夫定理中条件mE+不可少,不几乎一致收敛:去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛,几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,注b：叶果洛夫定理中的 结论me不能加强到me=0,去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛， 但去掉任意零测度集， 在留下的集合上仍不 一致收敛。,例：函数列fn(x)=xn n=1,2,在(0,1)上 处处收敛到f(x)=0, 但不一致收敛；,注b：叶果洛夫定理中结论me不能加强到me=0,设fn(x)= x n , x(0,1）,则fn(x) 处处收敛于f(x)=0，但fn(x)不一致收敛于f(x) ，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上fn(x)仍不一致收敛于f(x) 。,说明：去掉任意一个零测度集e，留下的集合 (0,1)-e仍然以1为聚点从而可找到E-e中一点列 xn, 使得 收敛到1，故：,从而E-e 上fn(x)不一致收敛于f(x),3.叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE+或mE=+，,几乎一致收敛: 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,另外显然 fn(x) 在 上点点收敛于f(x) 所以 fn(x) 在E上a.e.收敛于f(x),证明：由条件知 ,存在可测集 使 且 fn(x) 在 En上一致收敛于f(x) ，当然fn(x) 在En 上点点收敛于f(x),定理2.3: 叶果洛夫定理的逆定理,收敛间的关系,4.几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理）,定理2.4设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,注（1） : 叶果洛夫逆定理中条件mE+不可少 处处收敛但不依测度收敛,说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1,在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1.,（2）依测度收敛但处处不收敛,依测度收敛但处处不收敛,取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1， 一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；,5.定理2.5 Riesz(黎斯)定理,令mE+，则 对fn 的任意子列 fnk ,存在fnk的子列 fnki ，使得,Riesz定理的必要性证明,证明,对Riesz定理证明 的说明：其实从 证明中的(*)式我们可看出,从而可取得n1 n2 n3 nk，使得,故对任意0， ,有,6.依测度收敛的性质,定理2.6：令mE+ ， 则,证明见板书,这与（*）式矛盾，所以,证明：假设 不成立，则,补充,条件mE+不可少,注：令 ，则 gn不依测度收敛于g,注：上述结果的证明也可通过依测度收敛