流体力学讲义第一讲.ppt

B 张量 一、张量的阶 与坐标变换联系在一起，3n个元素组成的整体。 n=0称为零阶张量（标量） n=1称为一阶张量（向量） n=2称为二阶张量 二、张量的分类 1、笛卡儿张量：在笛卡儿坐标中定义的张量。 2、普遍张量：在一般曲线坐标中定义的张量。 三、符号记 1、求和法则（同一项中有相同的角标出现两次，则该角标须各值后相加） 可写为：,2、克罗内克尔符号 3、交变符号 四、张量定义 定义1：张量作为向量定义的推广 当由一个坐标系转换到另一个坐标系时，向量 按下 式变换 则笛卡儿坐标系所确定的三向量组 叫张量 是张量 的向量分量。,五、张量运算 1、相加 2、外积：r阶和s阶张量的外积是一个r+s阶张量，其分量为 原来张量的各个分量之积。,定义2：向量的并积，就代表一个二阶张量。,4、内积：内积是外积的缩并。,3、缩并：令张量的两个脚标相等并循环相加。,5、张量场的微分：,对张量的每个元素 取其 的导数,张量的微分叫做张量的梯度（新得的张量其阶数多1）,三、向量微分算子（哈密顿算子） 哈密顿算子的符号是 ，有两种表示方法 微分形式： （运算） 积分形式： 含义，用它作用在一个标量函数上来说明。（场的概念） 1、 叫梯度（标量场的最大变 化率和变化率的方向）,s,v,2、微分形式和积分形式是否等价： 证明：取 的二等值面和两二等值面之间的小圆柱, 如图 沿柱面积分 ，该积分由三部分组成，即,所以：,若定义一个向量场 ，则向量微分算子与它作用后分别 得到： 叫散度 ，标量，物理意义 叫旋度,张量场,称为向量a通过曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。在直角坐标系中,向量场的通量和散度,物理量的散度可用来判别场是否有源。通量：在向量场a中向曲面S的法向量为n，则曲面积分,有源场和无源场： 散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的通量。若diva0，称该点有源；若diva0，称该点有汇。 |diva|称为源或汇的强度。若diva0（处处），称该物理场为无源场，否则为有源场。,（ 常数）,散度的基本运算公式：,（2),( 为标量）,（3),散度的微分形式为：,旋度定义： 取微小圆柱体， 取为速度 ，法线方向为 ，对整个微元体进行以下积分 。 和 的方向满足右手螺旋法则。 定义：,环量定义：在向量场a沿有向封闭曲线l的积分 称为向量a沿曲线l的环量。,向量场的环量和旋度,物理量的旋度可用来判别场是否有旋（围绕某点旋转）。,可证：,旋度代表某一点的旋转角速度或旋转量，定义了一个向量场，叫旋度场,在直角坐标系中表达式：,引进哈密顿算子：,旋度运算基本公式,小总结 梯度，散度和旋度代表一种向量场或标量场，他们的大小 、方向和表达形式都不因直角坐标的变换而变化。 梯度：描述标量场的不均匀性或变化率，把标量场变成了 向量场。 散度：不描述向量场的变化率，把向量场变成了标量场。 旋度：不描述向量场的变化率，不改变向量场的性质。,四、几个重要公式 1、 2、 3、 4、,拉普拉斯算子,总乘,叉乘,五、几个积分定理 1、高斯定理 2、散度定理 3、旋度定理 4、斯托克斯定理 斯托克斯定理的证明：对 应用散度定理：,旋度经过S的通量,环量,（体积分与面积分之关系),由公式 知左端积分为零，而 右端积分的表面应是包围V的整个曲面，即S加由C所包围的底面 所以， ，由标量三重积公式 可以写成： ，故右端为： ，对向量 应用散度定理，有： 其中 是曲线C的外法线向量， 是 的外法线向量，二者相互 垂直，由标量三重积公式可得： 所以：,Stokes公式联系了面积分和线积分之间的关系。,六、一般正交曲线坐标 为什么？实际需要 1、一般曲线坐标系 若任一点的坐标位置(x,y,z)可用其它三个独立变量 表示，即存在关系式 或,即每一组 必有一组 与之对应，反之亦然（其雅可比 行列式不为零 2、正交曲线坐标系 若空间任意一点，三个坐标线的切线都是正交的，称此坐标系 为正交曲线坐标系。沿着坐标线的切线方向的单位向量以 表示。 3、正交曲线坐标系与笛卡儿坐标的区别 1）在笛卡儿坐标中，沿坐标轴的单位向量是不变的，在正交曲线 坐标系中， 的方向，一般说，随点的位置而变化。 2）在笛卡儿坐标中，坐标线上的微分增量是dxi,与坐标值的增量 是一致的，在正交曲线坐标系中，坐标线上的微分增量是dsi,与坐标 值的增量dqi则不一定相等。,4、坐标线的切线方向的单位向量 的正交性 式中 为克罗内克符号，i，j，k为1，2，3的循环排列。 5、正交曲线坐标系中的拉梅系数 在正交曲线坐标系中，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi不一定相等，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi一般要乘以系数Hi（拉梅系数），才会变成坐标线上的微分增量dsi，即,如何确定Hi？ 象在笛卡儿坐标中一样，在空间某 一点A，沿三个坐标轴为棱边作一 微分六面体，由于其边长分别为 ， ， , 设AB边在笛卡儿坐标中的分量为dx，dy，dz，由于它们都只是 由于dq1的变化而引起的数，故 所以,同理： 进而可写出弧元素：,微元面积：,微元体积：,6、梯度、散度、旋度在正交曲线坐标系中的表示： 1）梯度 2）散度 3）旋度,4）拉普拉斯算子,5）算子,