能量原理及其应用.ppt

能量原理及其应用 理想磁流体(IMHD)不稳定性,胡希伟 核聚变与等离子体离体物理暑期讲习班 2007.8.7,总100页,2,等离体不稳定性概述,总100页,3,不稳定性现象,一个力学系统当处在力学平衡状态(总的受力为零)时,如受到一个小扰动力的作用、就会偏离平衡态. 系统在平衡态附近的随时间扰动一般分成三种情况 -扰动幅度随时间而减小,即阻尼的扰动; -扰动辐度不随时间变化,即稳定的波动; -扰动的辐度随时间而增大,即不稳定的扰动, 或称不稳定性.,总100页,4,不稳定性起因,对处在力学平衡下系统的小扰动会使系统的总能产生小的变化. 如果扰动使系统总能增加,则扰动能就会转变成系统的总能.这样扰动辐度就随时间而减少.这就是阻尼的扰动. 在稳定的扰动波动情况下,扰动不改变平衡系统的总能量. 在不稳定的扰动下,系统会进入总能更低的状态,从而把一部份能量转给了扰动、使它随时间而增长.这部份可以交给扰动的能量被称为自由能.,总100页,5,等离体不稳定性分类(1),宏观(流体)的不稳定性(3维坐标空间) -磁(单)流体不稳定性 -理想的磁流体(Ideal MHD)不稳定性 -电阻(耗散)的磁流体不稳定性 -电磁(双)流体不稳定性 微观(动理学)的不稳定性(3维坐标空间+3维速度空间),总100页,6,等离体不稳定性分类(2),按扰动的极化性质分类 -静电型; -电磁型; -静电-电磁混合型. 按不稳定扰动随时间变化特征分类 -线性不稳定的扰动(A=A0 +A1, A1A0) -非线性不稳定的扰动,或弱湍流、发展中湍流 -饱和的不稳定扰动,或完全发展了的湍流 按扰动本身的特征时间和空间尺度 -理想磁流体时间(A=1/kva, k1/a); -电阻磁流体时间(R=a2/); -混合型.,总100页,7,线性不稳定性描述方法,简正模(时间可作Laplace (A1exp-it )变换)法 -扰动量的全部空间变量均可作Fourier变换(A1expikx ),它的线性微分方程、变成关于(,k)的齐次代数方程. 由解的存在条件得出色散方程: =(k)=R+iI . 当I0，扰动不稳定(expIt); 当I0，扰动衰减; 当I0，扰动是稳定的波. -部分(等离体参量均匀)空间可作Fourier变换,全空间的微分方程变成剩余坐标的约化微分方程,由其解和边界(或连接)条件得出色散关系; -微分方程存在奇异性,由奇点处的非平凡解存在条件得出色散 关系. 能量原理(仅对IMHD系统适用) 初值(初始扰动的时间演化)问题,总100页,8,Tokamak中主要的磁流体不稳定性,IMHD不稳定性 -外kink (扭曲)模 -内kink (扭曲)模 -Exchange (交换)模, 特别是Ballooning(气泡)模 电阻MHD不稳定性 -Tearing(撕裂)模, - Neo-classical Tearing Mode (NTM) 介于IMHD和耗散MHD之中的模 -RWM (Resistance Wall Mode, 电阻壁)模,总100页,9,MHD不稳定性从两个方面 决定了tokamak等离体的 运行性能和极限,总100页,10,对Tokamak运行性能的第一类限制,MHD不稳定性决定了tokamak可达到的 -最大plasma电流, -最大plasma压强()及其梯度, -并在决定plasma的最大密度上起重要作用. 这样,在决定反应堆水平tokamak基本设计和plasma性能的三个关键物理基石: 极限、密度极限和能量约束时间中,有二个和MHD不稳定性有关. 而上述三个物理量综合起来决定了 -可以产生的聚变功率: Pfusion -聚变功率增益: Q=Pfusion/Pauxilary -中子在壁上的负荷,总100页,11,对Tokamak运行性能的第二类限制,至今已知道:有一些破裂是在任何反应堆尺度的Burning plasmas中都会不可避免地出现的. 而破裂决定了tokamak某些结构和元件尤其是那些与plasma功率和粒子排出有关的元件-的使用寿命. 而这些破裂是MHD不稳定性的直接或最后结果.为了减少破裂出现的次数,以及在它不可避免出现时、减缓或软化它的后果,必须通过对引发破裂的MHD不稳定性有深入和定量的了解.,总100页,12,ITER中重要的IMHD不稳定模式,锯齿(Sautooth)模 -内kink模,在正磁剪切下产生NTMs的种子磁岛,结果 设置了N极限值,并使能量约束变坏. 电阻壁模(RWMResistance Wall Mode) -自举电流驱动的外kink模,对具有反(负)磁剪切的等 离体设置了N极限值. 局域的内MHD模 -存在于具有内部输运垒(ITB)的高性能等离体中,限 制了稳态运行范围.,总100页,13,本讲座内容,柱形等离体中理想磁流体力学(IMHD)扰动的能量原理及不稳定模式 准备知识 -扰动位移矢量的IMHD线性方程 -F算子、其自伴性和相应的哈密顿量H -变分原理、能量原理 一维位形下的IMHD不稳定模式分析 直柱tokamak位形中的IMHD不稳定性分析,总100页,14,参考文献,Progress in the ITER Physics Basis, Nuclear Fusion 47(June, 2007)Chapter 3. ITER Physics Basis, Nuclear Fusion 39(1999)2137-2664. 胡希伟, 等离子体理论基础, 北京大学出版社, 2006, 第四章. J. Wesson, Tokamaks, Second Edition, Clarendon Press Oxford, 1997,Chapter 6.,总100页,15,IMHD能量原理准备知识,总100页,16,能量原理的原理,总100页,17,IMHD方程和总能量,总100页,18,线性化磁流体方程组,从磁流体力学方程组出发,取平衡解为: 然后令:,总100页,19,引入位移矢量以直接积分二个方程,总100页,20,位移矢量的运动方程,力算子 F,总100页,21,总能量守恒与算子 F 自伴,总100页,22,位移矢量的初值和简正模解,总100页,23,IMHD本征模的三个特点,令 , 由F的自伴性可以证明: (1)2 为实数, 为正负实数或纯虚数. (2) 满足运动方程 -20=F() 的是实矢量, (3)若有分立谱本征值n (n=1,2,),则所对应 的本征矢n 构成正交集. -n20n=F(n),总100页,24,F 算子自伴性的证明,在等离子体理论基础 的第四章中, 对两种情况证明了F算子的自伴性。同时也给出了扰动位势W（，）的具体表达式： -无界磁流体, -柱形，有界（r=a）磁流体.,总100页,25,无限大磁流体力学体系的扰动位能,总100页,26,总100页,27,力算子 F 自伴性的证明,总100页,28,自伴性的最后证明,因为 ,而又能证明 ,总100页,29,自伴性的最后证明(续),总100页,30,柱形磁流体力学体系,其中 是磁流体体积中的扰动位能.而后两项分别是柱面的扰动位能和柱外真空中的扰动位能,总100页,31,磁流体内扰动位能的第II 种表达式,这是物理意义最清楚的一种表达式 其中第1项对应于弯曲磁力线的扰动(如剪切Alfven波); 第2项出自同 时压缩了流体和磁场的扰动 (如压缩Alfven波); 第3项则代表单独压 缩流体的扰动(如离子声波);这三种扰动都引起势能增加,是致稳项. 第4项是平行电流所驱动的不稳定扰动(Kink mode); 第5项是由压强梯度和磁场曲率联合产生的扰动,由于 0,当 0(坏曲率)时,这项为负、会驱动不稳定扰动(Interchange mode). 在整个扰动势能中只有这后两项是解(致)稳项.,总100页,32,磁流体内扰动位能的第IV 种表达式,这种表达式在推导Screw(螺旋)Pinch及直柱tokamak等离体中扰动位能表达式时特别方便.,总100页,33,变分原理,总100页,34,能量原理,总100页,35,如何挑选合适的来极小化WF,总100页,36,首先选取合适的| 来极小化WF,总100页,37,总100页,38,W取极小与不可压缩性,总100页,39,总100页,40,IMHD不稳定性分类,总100页,41,总100页,42,External Kink Mode,总100页,43,Internal Kink Mode,总100页,44,Interchange Mode,总100页,45,Ballooning Mode,总100页,46,休息! 就休息一会儿,总100页,47,一维位形下的IMHD不稳定性,-Pinch Z-Pinch Screw Pinch及其定域内模的Suydam判据,总100页,48,-Pinch,总100页,49,总100页,50,总100页,51,总100页,52,Z-Pinch,总100页,53,总100页,54,总100页,55,总100页,56,总100页,57,总100页,58,总100页,59,Screw Pinch,总100页,60,总100页,61,极小化WF (1):检验不可压缩性,总100页,62,极小化WF (2):对取极值,总100页,63,总100页,64,引入环向波数 n = -kR0,总100页,65,原始表面Ws,总100页,66,真空Wv,总100页,67,总100页,68,Screw Pinch WF的最后表达式,总100页,69,从WF 表达式可得的一般性结论,总100页,70,定域内模的Suydam判据,总100页,71,直柱tokamak的IMHD不稳定模,总100页,72,直柱马克的W 表达式,总100页,73,总100页,74,直柱马克典型的IMHD模式,定域(在有理面附近)的内交换模Mercier判据 非定域的内(kink, interchange)模 - m=0 和 m2的内模总是稳定的 - m=1, n=1的内模在q(0)1时,是不稳定的. m=1的外kink模 Kruskal-Shafranov极限 m2的外kink模 - 扭曲模的稳定图,总100页,75,定域内模只出现在 rq/q0 处,总100页,76,Mercier判据,q(0)1稳定充分条件,总100页,77,非定域内模，m 2 情况,总100页,78,m = 0 非定域内模总是稳定的,总100页,79,m = 1, n = 1/q(rs)共振面不在等离体中,总100页,80,m = 1, n = 1/q(rs)共振面在等离体中,总100页,81,总100页,82,反剪切 q(r) 位形下的m = 1内模,总100页,83,ITER Design Scenario 4中的反剪切位形,总100页,84,外扭曲模的物理机制和扰动位能,总100页,85,外扭曲模的扰动位能, m=1 模,总100页,86,m = 1 外扭曲模的稳定条件,总100页,87,m 2 的外扭曲模,总100页,88,m 2模的稳定条件与电流分布有关,总100页,89,均匀电流剖面下的稳定判据,总100页,90,总100页,91,总100页,92,总100页,93,总100页,94,环形tokamak中的 新IMHD不稳定模,Ballooning Mode(气泡模) 由压强梯度驱动的,位于tokamak外侧(坏曲率区)的非常局域的不稳定模式对的限制 Vertical instabilities (轴对称模) 垂直不稳定垂直位移事件(Vertical Displacement Events - VDEs) 破裂,总100页,95,气泡模的机制,总100页,96,总100页,97,总100页,98,气泡模给出的 limit,或用tokamak运行参量写成: 但实际上决定极限的不稳定模式还很多.