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文档简介
“杨辉三角”与二项式系数的性质,1.了解杨辉三角,并能由它解决简单的二项式系数问题. 2.了解二项式系数的性质并能简单应用. 3.掌握“赋值法”并会灵活应用.,本节重点是二项式系数性质的应用 本节难点是杨辉三角的特点,1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数 _; (2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的_,即 _.,相等,和,2.二项式系数的性质,增大,减小,在(ab)n展开式中,与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即_,当k 时,二项式系数是逐渐_的; 当k 时,二项式系数是逐渐_的.,当n为偶数时,中间的一项_取得最大; 当n为奇数时,中间的两项_,_相等,且同时取得最大值.,1.观察杨辉三角,归纳猜想出第几行的各个数字都是奇数? 提示:从表中可看出第一行、第二行、第四行、第八行都是奇数,归纳得出第2n1行(n1,2,3)都是奇数. 2.(1-x)10的展开式中二项式系数之和为_. 【解析】(a+b)n展开式的二项式系数之和为2n,只与n有关.故二项式系数之和为210. 答案:210,3.(1-x)10的展开式中各项系数之和为_. 【解析】令x=1即可得到各项系数之和为0. 答案:0,1.关于“杨辉三角”的规律拓展 (1)杨辉三角的第2n1行各个数都是奇数. (2)如图(1),第n条横线与第n1条横线数字之和等于第n2条横线上数字之和.,(3)如图(2),每一斜行任取n个数字之和都等于第n个数字右下“脚”的数字.,2.对二项式系数性质的深层理解 (1)对称性:源于组合数的性质 ,基础是 ,然后从左右向中间靠拢,便有 (2)最大值:当n是偶数时,(ab)n的展开式共n1项,n1是奇数,这时展开式的形式是 中间一项是第 1项,它的二项式系数是 ,它是所有二项式系数中的最大值;,当n是奇数时,(ab)n的展开式共有n1项,n1是偶数,这时展开式的形式是 中间两项是第 项,它们的二项式系数是: 、 ,这两个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大值.,杨辉三角的有关问题 【技法点拨】 杨辉三角问题解决的一般方法 观察-分析;实验-猜想;结论证明,要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律,取决于我们的观察能力,观察能力有:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察.如表所示:,表达,规律,观察,结论,对数据要横看、竖看、斜看、连续看、 隔行看,多角度观察,通过观察找出每一行的数之间, 行与行之间的数据的规律,将发现的规律用数学式子表达,由数学表达式得出结论,【典例训练】 1.如图所示,满足第n行首尾两数均为n;表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n2)的第2个数是_.,2.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的 0-1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,第n次全行的数都为1的是第_行;第61行中1的个数是_.,【解析】1.由图中数字规律可知,第n行的第2个数是123(n1)1 答案: 2.观察可得第1行,第3行,第7行,第15行,全行都为1,故第n次全行的数都为1的是第2n-1行;n=626-1=63,故第63行共有64个1,逆推知第62行共有32个1,第61行共有32个1. 答案:2n -1 32,【变式训练】如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,记这个数列的前n项和为Sn,求S19.,【解析】由题干图知,数列中的首项是 ,第2项是 ,第3项是 ,第4项是 ,第17项是 ,第18项是 ,第19项是 S19 ,有关二项式及系数和的问题 【技法点拨】 1.解决二项式系数和问题思维流程,求 二 项 式 系 数 的 和,切入点,思考点,思维流程,对式子中的x赋值,目的是将 二项式的系数分离出来,怎么对x赋值?,展开式的常数项和最高次项系数如何求出?,如何得到所求值的代数关系?,对x赋值,变形,结论,2.赋值法 (1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项等情况. (2)一般地,二项展开式f(x)的各项系数和为f(1),奇次项系数和为 f(1)-f(-1),偶次项系数和为 f(1)+f(-1),【典例训练】 展开式中不含x4项的系数的和为( ) (A)1 (B)0 (C)1 (D)2 2.在 的展开式中,所有奇数项的二项式系数之和 为1 024,则中间项系数是_. 3.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+a1x+a0, 求:(1)a1+a2+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6.,【解析】1.选B.令 =a0+a1x+a8x4,令x=1,得a0+a1+a8= 含x4项的系数为 ,所以不含x4的项的系数和为1-1=0. 2.二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n,而所有偶 数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等,故由 题意知2n-1=1 024,n=11,展开式共12项,中间项为第六 项、第七项,其系数为 答案:462,3.(1)令x=0,则a0=-1, 令x=1,则 a7+a6+a1+a0=27=128, a1+a2+a7=129. (2)令x=-1,则 -a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7. 由 ,得 a1+a3+a5+a7= 128-(-4)7=8 256.,(3)由 ,得 a0+a2+a4+a6 = (a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0)+(-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0) = 128+(-4)7=-8 128.,【互动探究】题1的条件不变,求不含常数项的系数和为多少? 【解题指南】先求出常数项,再结合所有系数和求解. 【解析】常数项为28=256,所以不含常数项的系数和为 1-256=-255.,【思考】解决题1,2的关键点及解决题3的方法是什么? 提示:(1)解决题1,2的关键是采用赋值法逆向求解. (2)形如题3常见的方法是赋值法.,【变式训练】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7, 求:(1)a1+a2+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)|a0|+|a1|+|a7|. 【解析】(1)当x=1时,(1-2x)7=(1-2)7=-1, 展开式右边为a0+a1+a2+a7, a0+a1+a2+a7=-1, 当x=0时,a0=1, a1+a2+a7=-1-1=-2,,(2)令x=1, a0+a1+a2+a7=-1 令x=-1, a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37 - 得:2(a1+a3+a5+a7)=-1-37, a1+a3+a5+a7=,(3)由展开式知:a1,a3,a5,a7均为负,a0,a2,a4,a6均为正, 由(2)中+ 得:2(a0+a2+a4+a6)=-1+37, a0+a2+a4+a6= |a0|+|a1|+|a7|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7 =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=37.,利用二项式系数的性质解相关问题 【技法点拨】 二项式系数的最大项与展开式中系数的最大项的求法 (1)求二项式系数的最大项,可根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大,当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.,(2)求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组,解不等式组求范围的方法求得.,【典例训练】 1.(x-2y)7展开式中系数最大的项为_. 2.在(x-y)11的展开式中,解答下列问题: (1)通项Tr+1; (2)二项式系数最大的项; (3)项的系数绝对值最大的项; (4)项的系数最大的项; (5)项的系数最小的项;,(6)二项式系数的和; (7)各项系数的和. 【解析】1.展开式中共有8项,系数最大项必为正项,即在第一、三、五、七这四项中取得,又因(x-2y)7括号内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值,故系数最大项必在中间或偏右,故只需要比较T5和T7两项系数大小即可. 系数最大的项是第五项,,2.(1) (2)二项式系数最大的项为中间两项: (3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项: (4)因为中间两项系数的绝对值相等,一正一负,第7项为正,故项的系数最大的项为,(5)项的系数最小的项为 (6)二项式系数的和为 (7)各项系数和为(1-1)11=0.,【互动探究】若将题1改为“(x+2y)7”如何求解. 【解题指南】求展开式中的二项式系数最大的项,首先要分清n的奇偶,才能把握最大项是一项还是两项. 一般是列出不等式组,假设第r+1项系数最大,则第r+1项的系数就大于等于它前面所有项的系数,同时又大于等于它后面所有项的系数即可.,【解析】设r+1项系数最大,则有 即 又0r7,r=5, 系数最大的项为,【想一想】解决题2的关键点和注意事项是什么? 提示:(1)读清题意是解决题2的关键,注意“系数绝对值最大”、“二项式系数最大”、“系数最大”、“系数最小”等几个关键词,灵活选取方法. (2)借助前问解题,如(4)(5)两问,只需将(3)问进行简单分析即可,在学习过程中应加以重视.,【变式训练】(2012梅州高二检测)(1)在 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512,求展开式的所有有理项(指数为整数). (2)求(1-x)3+(1-x)4+(1-x)n展开式中x2项的系数.,【解析】(1) n-1=9,n=10, = Z,r=0,6. 所以有理项为 (2) x2项的系数为,【易错误区】审题疏忽导致计算错误 【典例】已知(2x1)n二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则 的值为( ) (A)28 (B)28-1 (C)27 (D)27-1,【解题指导】,【解析】选B.设(2x1)na0a1xa2x2anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B. 则Aa1a3a5,Ba0a2a4a6 由已知可知:BA38.令x1, 得:a0a1a2a3an(1)n(3)n, 即:(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n,即:BA(3)n. (3)n38(3)8,n8. 由二项式系数性质可得:,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析,对解答本题的常见错误及解题启示总结如下:,【即时训练】(2012武威高二检测)若 展开式的各项系数之和为32,其展开式中的常数项为_(用数字作答). 【解析】令x=1得 展开式的各项系数之和为2n,由题意知2n=32,故n=5, 展开式的通项式是 令10-5r=0得r=2. 因此展开式中的常数项为 答案:10,1.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,则a8=( ) (A)180 (B)-180 (C)45 (D)-45 【解析】选A.,2.(1-x)13展开式中系数最小的项为( ) (A)第六项 (B)第七项 (C)第八项 (D)第九项 【解析】选C.展开式共有14项,中间两项(第七、八项)的二项式系数最大,由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足:奇数项相等,偶数项互为相反数,所以系数最小的项为第八项,系数最大的项为第七项.,3.(2x-6y)20的各项系数和为_. 【解
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