高中数学1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质复习课件新人教A版.ppt

“杨辉三角”与二项式系数的性质,1.了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题. 2.了解二项式系数的性质并能简单应用. 3.掌握“赋值法”并会灵活应用.,本节重点是二项式系数性质的应用 本节难点是杨辉三角的特点,1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中,每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数 _； (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的_，即 _.,相等,和,2.二项式系数的性质,增大,减小,在(ab)n展开式中，与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即_,当k 时，二项式系数是逐渐_的； 当k 时，二项式系数是逐渐_的.,当n为偶数时，中间的一项_取得最大； 当n为奇数时，中间的两项_，_相等，且同时取得最大值.,1.观察杨辉三角，归纳猜想出第几行的各个数字都是奇数？ 提示：从表中可看出第一行、第二行、第四行、第八行都是奇数，归纳得出第2n1行(n1,2,3)都是奇数. 2.(1-x)10的展开式中二项式系数之和为_. 【解析】(a+b)n展开式的二项式系数之和为2n，只与n有关.故二项式系数之和为210. 答案：210,3.(1-x)10的展开式中各项系数之和为_. 【解析】令x=1即可得到各项系数之和为0. 答案：0,1.关于“杨辉三角”的规律拓展 (1)杨辉三角的第2n1行各个数都是奇数. (2)如图(1)，第n条横线与第n1条横线数字之和等于第n2条横线上数字之和.,(3)如图(2)，每一斜行任取n个数字之和都等于第n个数字右下“脚”的数字.,2.对二项式系数性质的深层理解 (1)对称性：源于组合数的性质 ，基础是 ，然后从左右向中间靠拢，便有 (2)最大值：当n是偶数时，(ab)n的展开式共n1项，n1是奇数，这时展开式的形式是 中间一项是第 1项，它的二项式系数是 ，它是所有二项式系数中的最大值；,当n是奇数时，(ab)n的展开式共有n1项，n1是偶数，这时展开式的形式是 中间两项是第 项，它们的二项式系数是： 、 ，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值.,杨辉三角的有关问题 【技法点拨】 杨辉三角问题解决的一般方法 观察-分析；实验-猜想；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.如表所示：,表达,规律,观察,结论,对数据要横看、竖看、斜看、连续看、 隔行看，多角度观察,通过观察找出每一行的数之间, 行与行之间的数据的规律,将发现的规律用数学式子表达,由数学表达式得出结论,【典例训练】 1.如图所示，满足第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n2)的第2个数是_.,2.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的 0-1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第n次全行的数都为1的是第_行；第61行中1的个数是_.,【解析】1.由图中数字规律可知，第n行的第2个数是123(n1)1 答案： 2.观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n-1行；n=626-1=63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1. 答案：2n -1 32,【变式训练】如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.,【解析】由题干图知，数列中的首项是 ，第2项是 ，第3项是 ，第4项是 ，第17项是 ，第18项是 ，第19项是 S19 ,有关二项式及系数和的问题 【技法点拨】 1.解决二项式系数和问题思维流程,求 二 项 式 系 数 的 和,切入点,思考点,思维流程,对式子中的x赋值，目的是将 二项式的系数分离出来,怎么对x赋值?,展开式的常数项和最高次项系数如何求出？,如何得到所求值的代数关系?,对x赋值,变形,结论,2.赋值法 (1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况. (2)一般地，二项展开式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为 f(1)-f(-1)，偶次项系数和为 f(1)+f(-1),【典例训练】 展开式中不含x4项的系数的和为( ) (A)1 (B)0 (C)1 (D)2 2.在 的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和 为1 024，则中间项系数是_. 3.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+a1x+a0， 求：(1)a1+a2+a7； (2)a1+a3+a5+a7； (3)a0+a2+a4+a6.,【解析】1.选B.令 =a0+a1x+a8x4，令x=1，得a0+a1+a8= 含x4项的系数为 ，所以不含x4的项的系数和为1-1=0. 2.二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶 数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由 题意知2n-1=1 024，n=11，展开式共12项，中间项为第六 项、第七项，其系数为 答案：462,3.(1)令x=0，则a0=-1， 令x=1，则 a7+a6+a1+a0=27=128， a1+a2+a7=129. (2)令x=-1，则 -a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7. 由 ，得 a1+a3+a5+a7= 128-(-4)7=8 256.,(3)由 ，得 a0+a2+a4+a6 = (a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0)+(-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0) = 128+(-4)7=-8 128.,【互动探究】题1的条件不变，求不含常数项的系数和为多少？ 【解题指南】先求出常数项，再结合所有系数和求解. 【解析】常数项为28=256，所以不含常数项的系数和为 1-256=-255.,【思考】解决题1，2的关键点及解决题3的方法是什么？ 提示：(1)解决题1，2的关键是采用赋值法逆向求解. (2)形如题3常见的方法是赋值法.,【变式训练】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7， 求：(1)a1+a2+a7； (2)a1+a3+a5+a7； (3)|a0|+|a1|+|a7|. 【解析】(1)当x=1时，(1-2x)7=(1-2)7=-1， 展开式右边为a0+a1+a2+a7， a0+a1+a2+a7=-1， 当x=0时，a0=1， a1+a2+a7=-1-1=-2，,(2)令x=1， a0+a1+a2+a7=-1 令x=-1， a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37 - 得：2(a1+a3+a5+a7)=-1-37， a1+a3+a5+a7=,(3)由展开式知：a1，a3，a5，a7均为负，a0，a2，a4，a6均为正， 由(2)中+ 得：2(a0+a2+a4+a6)=-1+37， a0+a2+a4+a6= |a0|+|a1|+|a7|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7 =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=37.,利用二项式系数的性质解相关问题 【技法点拨】 二项式系数的最大项与展开式中系数的最大项的求法 (1)求二项式系数的最大项，可根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.,(2)求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组求范围的方法求得.,【典例训练】 1.(x-2y)7展开式中系数最大的项为_. 2.在(x-y)11的展开式中，解答下列问题： (1)通项Tr+1； (2)二项式系数最大的项； (3)项的系数绝对值最大的项； (4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项；,(6)二项式系数的和； (7)各项系数的和. 【解析】1.展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因(x-2y)7括号内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大项必在中间或偏右，故只需要比较T5和T7两项系数大小即可. 系数最大的项是第五项，,2.(1) (2)二项式系数最大的项为中间两项： (3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项： (4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故项的系数最大的项为,(5)项的系数最小的项为 (6)二项式系数的和为 (7)各项系数和为(1-1)11=0.,【互动探究】若将题1改为“(x+2y)7”如何求解. 【解题指南】求展开式中的二项式系数最大的项，首先要分清n的奇偶，才能把握最大项是一项还是两项. 一般是列出不等式组，假设第r+1项系数最大，则第r+1项的系数就大于等于它前面所有项的系数，同时又大于等于它后面所有项的系数即可.,【解析】设r+1项系数最大，则有 即 又0r7，r=5， 系数最大的项为,【想一想】解决题2的关键点和注意事项是什么？ 提示：(1)读清题意是解决题2的关键，注意“系数绝对值最大”、“二项式系数最大”、“系数最大”、“系数最小”等几个关键词，灵活选取方法. (2)借助前问解题，如(4)(5)两问，只需将(3)问进行简单分析即可，在学习过程中应加以重视.,【变式训练】(2012梅州高二检测)(1)在 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，求展开式的所有有理项(指数为整数). (2)求(1-x)3+(1-x)4+(1-x)n展开式中x2项的系数.,【解析】(1) n-1=9,n=10， = Z,r=0,6. 所以有理项为 (2) x2项的系数为,【易错误区】审题疏忽导致计算错误 【典例】已知(2x1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则 的值为( ) (A)28 (B)28-1 (C)27 (D)27-1,【解题指导】,【解析】选B.设(2x1)na0a1xa2x2anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则Aa1a3a5，Ba0a2a4a6 由已知可知：BA38.令x1， 得：a0a1a2a3an(1)n(3)n， 即：(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n，即：BA(3)n. (3)n38(3)8，n8. 由二项式系数性质可得：,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：,【即时训练】(2012武威高二检测)若 展开式的各项系数之和为32，其展开式中的常数项为_(用数字作答). 【解析】令x=1得 展开式的各项系数之和为2n,由题意知2n=32,故n=5， 展开式的通项式是 令10-5r=0得r=2. 因此展开式中的常数项为 答案：10,1.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10，则a8=( ) (A)180 (B)-180 (C)45 (D)-45 【解析】选A.,2.(1-x)13展开式中系数最小的项为( ) (A)第六项 (B)第七项 (C)第八项 (D)第九项 【解析】选C.展开式共有14项，中间两项(第七、八项)的二项式系数最大，由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数，所以系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项.,3.(2x-6y)20的各项系数和为_. 【解