2.4波的多解问题（教师）

2.4 波的多解问题1造成波动问题多解的主要因素(1)周期性：时间周期性：时间间隔t与周期T的关系不明确。空间周期性：波传播距离x与波长的关系不明确。(2)双向性：传播方向双向性：波的传播方向不确定。振动方向双向性：质点振动方向不确定。如：a.质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。b质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。c只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。d只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。(3)波形的隐含性形成多解：在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。2解决波的多解问题的思路一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系t或x，若此关系为时间，则tnTt(n0，1,2)；若此关系为距离，则xnx(n0,1，2)。1.时间的多解问题例1一列简谐横波在x轴上传播，如图4所示，实线是这列波在t10.1 s时刻的波形，虚线是这列波在t20.2 s时刻的波形，求：图4(1)如果此波沿x轴正方向传播，波速的最小值；(2)如果此波沿x轴负方向传播，波速的可能值答案(1)30 m/s(2)v(80k50) m/s(k0,1,2，3)解析(1)由波形图知波长8 m波沿x轴正方向传播时，传播距离x满足xk(k0,1,2,3)由v知，当k0时波速取最小值解得最小波速vmin30 m/s(2)波沿x轴负方向传播时，传播距离xk(k0,1,2,3)由v得v(80k50) m/s(k0,1,2,3)1.一列简谐横波在x轴上传播，在t10和t20.05 s时刻，其波形图分别如图中的实线和虚线所示，求：(1)该波的振幅和波长；(2)若这列波向右传播，波速是多少？若这列波向左传播，波速是多少？解析：(1)由图可知：A2 cm，8 m(2)若波向右传播，则x1n28n(n0,1,2，)v140160n(n0,1,2，)若波向左传播，则 x2n68n(n0,1,2，)v2120160n(n0,1,2，)答案：(1)2 cm8 m(2)40160n(n0,1,2，)，120160n(n0,1,2，)2如图所示，实线是某时刻的波形图，虚线是0.2 s后的波形图(1)若波向左传播，求它的可能周期和最大周期；(2)若波向右传播，求它的可能传播速度；(3)若波速是45 m/s，求波的传播方向答案(1) s(n0,1,2，)0.27 s(2)5(4n1) m/s(n0,1,2，)(3)向右解析(1)波向左传播，传播的时间为tTnT(n0,1,2，)，所以T4 s s(n0,1,2，)，最大周期为Tmax s0.27 s.(2)波向右传播，tnT(n0,1,2，)所以T s(n0,1,2，)，而4 m所以v5(4n1) m/s(n0,1,2，)（3）波速是45 m/s，设波向右传播，由上问求得的向右传播的波速公式得：45 m/s5(4n1) m/s，解得n2.故假设成立，因此波向右传播例2如图5所示，图中的实线是一列简谐横波在t0时刻的波形图，虚线对应的是t0.5 s时的波形图求：图5(1)如果波沿x轴负方向传播，且周期T0.5 s，则波的速度多大？(2)如果波沿x轴正方向传播，且周期T满足0.3 sT0.5 s，则波的速度又是多少？答案(1)0.12 m/s(2)0.84 m/s解析(1)如果波沿x轴负方向传播，且周期T0.5 s，则波向左传播的距离x24 cm6 cm波速v0.12 m/s(2)如果波是沿x轴正方向传播的，且周期T满足0.3 sT0.5 s，则波向右传播了1个波长多，所以波传播的距离为x24 cm42 cm波速v0.84 m/s.1.如图所示实线是一列简谐横波在t10时刻的波形，虚线是这列波在t20.5 s时刻的波形，这列波的周期T符合：3Tt2t14T，问：(1)若波速向右，波速多大？(2)若波速向左，波速多大？(3)若波速大小为74 m/s，波速方向如何？解析(1)波向右传播时，传播距离x满足xk(k0,1,2,3)由t知传播时间满足tkTT(k0,1,2,3)由于3Tt2t14T因此k取3故t3TT由波形图知8 m波速v解得v54 m/s(2)波向左传播时，传播距离x满足xk(k0,1,2,3，)传播时间满足tkTT(k0,1,2,3)由3Tt2t14T可知k取3故t3TT波速v解得v58 m/s(3)波速大小为74 m/s时，波在t时间内传播的距离为xvt740.5 m37 m(45) m所以波向左传播答案(1)54 m/s(2)58 m/s(3)波向左传播2.(2019绵阳三诊)如图所示，一简谐横波在t0时的波形是图中实线，在t10.2 s时的波形是图中虚线，P为介质中x4 m处的质点，则()A该波一定沿x轴正方向传播B该波的传播速度可能为5 m/sC从t0开始，质点P经过0.2 s沿x轴正方向运动1 mDt0.4 s时，质点P的位置y4 cm解析当波向左传播时，传播的距离xn4n3,0.2nTT，波速v20n15(m/s)，T，n0、1、2、3当波向右传播时，传播的距离xn4n1,0.2nTT，波速v20n5(m/s)，T，n0、1、2、3由于波传播方向的不定性，所以据波形图与时间无法判断该波的传播方向，故A错误。据以上分析可知，当波向右传播时，该波的波速可能为5 m/s，故B正确。据波传播特点可知，各质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做简谐运动，故C错误。根据波的图像和以上分析可知，t0.4 s时，质点P的位置不可能y4 cm，故D错误。答案B2. 空间的多解问题例3如图所示是一列简谐横波上A、B两点的振动图像，A、B两点相距8 m。求：(1)这列波可能的波长；(2)这列波可能的波速。解析：若波由A传向B时，由图有：xABn8 m (n0,1,2,3，)解得： m (n0,1,2,3，)此时的波速v m/s(n0,1,2,3，)当波由B向A传播时有：n8 m(n0,1,2,3，)得波长 m (n0,1,2,3，)此时的波速v m/s (n0,1,2,3，)答案：(1) m(n0,1,2,3，)或者 m(n0,1,2,3，)(2)v m/s(n0,1,2,3，)或者波速v m/s(n0,1,2,3，)1.一列横波在x轴上传播，a、b是x轴上相距sab6 m的两质点，t0时，b点正好到达最高点，且b点到x轴的距离为4 cm，而此时a点恰好经过平衡位置向上运动。已知这列波的频率为25 Hz。(1)求经过时间1 s，a质点运动的路程；(2)质点a、b在x轴上的距离大于一个波长，求该波的波速。解析：(1)质点a一个周期运动的路程s04A0.16 m1 s内的周期数是n251 s内a质点运动的路程sns04 m(2)波由a传向b，sab(n)vf m/s(n1,2,3)波由b传向a，sab(n)vf m/s(n1,2,3)答案：(1)4 m(2)见解析2.一列横波在x轴上传播，a、b是x轴上相距xab8m的两质点，t0时，b正好到达正方向最大位移处，且b到x轴的距离为8 cm，而此时a恰好经过平衡位置向上运动。已知这列波的频率为25 Hz。(1)求经过时间1 s，a运动的路程；(2)若a、b在x轴上的距离大于一个波长，求该波的波速。解析：(1)a在一个周期内运动的路程s04A0.32 m1 s内的周期数是n251 s内运动的路程sns08 m。(2)由题意可知，若波由a传向b，xab(n1,2,3，)vfm/s(n1,2,3，)若波由b传向a，xab(n1,2,3，)vf m/s(n1,2,3，)。答案：(1)8 m(2)见解析3.一简谐横波在均匀介质中沿水平方向直线传播，A、B为介质中的两个质点，其振动图像分别如图9甲和乙所示，AB间的水平距离x2 m，求：图9(1)该简谐横波传播速度的可能值；(2)若改变波源的振动频率，使A、B两质点的振动同步，求频率的可能值答案(1)vm/s(n0,1,2，)(2)f Hz(n0,1,2，m1,2,3，)解析(1)由图像可知，该简谐波的周期T4 sx(2n1)(n0,1,2，)设传播速度为v，则有v解得该简谐横波传播速度的可能值v m/s(n0,1,2，)(2)设波源振动频率为f，则有xm(m1,2,3，)vf解得频率的可能值f Hz(n0,1,2，m1,2,3，)4.(多选)(2019天津7)一列简谐横波沿直线传播，该直线上平衡位置相距9 m的a、b两质点的振动图象如图7所示，下列描述该波的图象可能正确的是()图7答案AC解析由振动图象可知，在t0时，质点a处在波峰位置，质点b处在平衡位置且向下运动若简谐横波沿直线由a向b传播，有n9 m，解得波长的表达式： m(n0,1,2,3,4，)，其波长可能值为12 m，5.14 m，选项C正确；若简谐横波沿直线由b向a传播，有n9 m，解得波长的表达式： m(n0,1,2,3,4，)，其波长可能值为36 m,7.2 m,4 m，选项A正确课后巩固题组一 时间的多解问题1一列简谐横波在t0时刻的波形如图5中的实线所示，t0.02 s 时刻的波形如图中虚线所示若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是()图5A2 m/s B3 m/sC4 m/s D5 m/s答案B解析因tT，故：若波向右传播，则波传播的距离x10.02 m，则波速v1 m/s1 m/s；若波向左传播，则波传播的距离x20.06 m，则波速v2 m/s3 m/s，故正确选项为B.2(多选)(2019衡水冀州中学模拟)如图所示，实线和虚线分别为一列沿x轴传播的简谐横波在t10、t20.02 s两个时刻的波形图像，已知t2t1(T为该波的周期)，下列说法正确的是()A波沿着x轴负方向传播B波的传播速度是100 m/sC在t2t10.02 s时间内，x24 m的质点运动的路程为5 cmD在t0.4 s时刻，x4 m的质点的速度最大E在t1.6 s时刻，x64 m的质点加速度为零解析：选BCE由题图知波长为16 m，由t2t10.04 s，由波形平移的距离易知，波沿x轴正方向传播，故A错误；由题意知0.02 sT，所以T0.16 s，波速v m/s100 m/s，故B正确；T0.16 s，0.02 sT，则x24 m的质点运动的路程为sA5 cm，故C正确；t0.4 s2.5T，x4 m的质点在波谷，速度为零，D错误；t1.6 s10T，x64 m的质点在平衡位置，质点加速度为零，E正确。3.一列横波在x轴上传播，t10和t20.005 s时的波形如图2中的实线和虚线所示图2(1)设周期大于(t2t1)，求波速；(2)设周期小于(t2t1)，并且波速为6 000 m/s.求波的传播方向解析当波传播时间小于周期时，波沿传播方向前进的距离小于一个波长；当波传播的时间大于周期时，波沿传播方向前进的距离大于波长这时从波形的变化上看出的传播距离加上n个波长才是波实际传播的距离(1)因tt2t1T，所以波传播的距离可以直接由图读出若波向右传播，则在0.005 s内传播了2 m，故波速为v400 m/s.若波向左传播，则在0.005 s内传播了6 m，故波速为v1 200 m/s.(2)因tt2t1T，所以波传播的距离大于一个波长，在0.005 s内传播的距离为xvt6 0000.005 m30 m，3，即x3.因此，可得波的传播方向沿x轴负方向答案(1)波向右传播时v400 m/s波向左传播时，v1 200 m/s(2)x轴负方向4一列简谐横波t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知tt2t10.5 s问：(1)这列波的传播速度是多少？(2)若波向左传播，且3Tt4T，波速是多大？(3)若波速等于68 m/s，则波向哪个方向传播？解析(1)有两组解：若波向右传播，传播距离s，又有v右 m/s(16n4) m/s(n0,1,2，)；若波向左传播，传播距离s，又有v左 m/s(16n12) m/s(n0,1,2，)(2)因波向左传播，且3Tt4T，则必有3s4，故n3，v左(16n12) m/s60 m/s.(3)因波速v68 m/s，所以svt680.5 m34 m，故波向右传播答案(1)若波向右传播，v右(16n4) m/s(n0,1,2，)；若波向左传播，v左(16n12) m/s(n0,1,2，)(2)60 m/s(3)向右归纳总结造成波动问题多解的主要因素(1)周期性时间周期性：时间间隔t与周期T的关系不明确空间周期性：波传播距离x与波长的关系不明确(2)双向性传播方向双向性：波的传播方向不确定振动方向双向性：质点振动方向不确定5(2019哈尔滨第三中学模拟)一列横波在x轴上传播，在t10时刻波形如图中实线所示，t20.05 s时刻，波形如图中虚线所示。若周期大于(t1t2)，则最小波速和最大波速分别是多少？传播方向如何？解析：由题图可知，8 m。当波沿x轴正方向传播时，有tnT，且n0或1，当波沿x轴负方向传播时，有tnT，且n0或1，由波速公式v可知，当速度最小时，周期最大，当速度最大时，周期最小。分析上面两类情况可知当周期最大时，波沿x轴正方向传播，且在tnT中取n0，即t，则T大0.2 s，最小速度v小40 m/s，方向为沿x轴正方向。当v最大时，波沿x轴负方向传播，且在tnT中取n1，即tT，则T小 s，最大速度v大280 m/s，方向为沿x轴负方向。答案：最小波速40 m/s，方向为沿x轴正方向；最大波速280 m/s，方向为沿x轴负方向题组二 空间的多解问题1一列简谐横波沿直线由A向B传播，A、B相距0.45 m，如图5所示是A处质点的振动图像当A处质点运动到波峰位置时，B处质点刚好到达平衡位置且向y轴正方向运动，这列波的波速可能是()图5A4.5 m/s B3 m/s C1.5 m/s D0.7 m/s解析从图中可知周期为0.4 s由题可知质点A、B间最简单波形如图所示，A、B间距和波长的关系为x(n)，再由公式v得v(n0,1,2，)，代入数据可知波速v可为4.5 m/s，选项A正确答案A2(多选)一列波长大于3 m的横波沿着x轴正方向传播，处在x11.5 m和x24.5 m的两质点A、B的振动图像如图所示由此可知()A1 s末A、B两质点的位移相同B2 s末A点的振动速度大于B点振动速度C波长为4 mD波速为1 m/s答案BCD解析从A、B两点的振动图像可以看出，1 s末质点A的位移为2 cm，质点B的位移为0，选项A错误；2 s末A点处于平衡位置，速度最大，B点处于负向最大位移处，速度为零，选项B正确；从A、B两点的振动图像可以看出，A、B两点间的距离为(n)个波长(n0,1,2，)，结合题给条件可得：(n)x2x1，代入数据解得波长为： m(n0,1,2，)，由题意知波长大于3 m，则n0，波长为：4 m，选项C正确；从振动图像可以看出周期为：T4 s，则波速为：v1 m/s，选项D正确3一列横波在t0时刻的波形如图中实线所示，在t1 s时的波形如图中虚线所示由此可以判定此波的()A波长一定是4 cmB周期一定是4 sC波长一定是2 cmD传播速度一定是1 cm/s答案A解析直接从题图上读出波长是4 cm，故A选项正确，C选项错误；1 s时间与周期的关系是nTT1 s(n0,1,2,3，)，是不确定解，因此B选项错同理，传播速度v也不确定，D选项也错4.一列简谐横波沿x轴正方向传播，已知x轴上相距d3.6 m的两个质点M、N的振动图像分别如图甲和乙所示，已知质点M比N质点先起振，则该波()A波长可能为4.8 mB频率可能为0.2 HzC传播速度可能为3.6 m/sD质点M在波谷时，质点N在波峰解析据题质点M比N质点先起振，波从M传到N.由振动图像可知t0时刻M点位于波峰时，N通过平衡位置向下，则有：d(n)，(n0,1,2)，波长为 m m，当n0时，4.8 m，故A正确；由图读出周期T4 s，则频率为f0.25 Hz，故B错误；波速为vf m/s，因为n是整数，v不可能为3.6 m/s，故C错误；由上面分析知，d(n)，则质点M在波谷时，N通过平衡位置，故D错误答案A5如图所示，一列简谐波沿一直线向左传播，当直线上某质点a向上运动到达最大位移时，a点右方相距0.15 m的b点刚好向下运动到最大位移处，则这列波的波长可能是() A0.6 m B0.3 mC0.2 m D0.1 m